§ 1. Definition und Schreibweise der systematischen Brüche. 
99 
M 
In neuerer Zeit, namentlich nach Einführung der dezimalen 
Teilung der Maße, Münzen und Gewichte, bedarf man beim praktischen 
Rechnen kaum noch anderer als dieser Dezimalbrüche; denn hergestellt 
werden eben keine anderen Münzen und Gewichte als solche, deren 
Zehn- oder Hundert- oder Tausendfaches der gewählten Haupteinheit 
gleichwertig ist, oder Vielfache derartiger Münzen und Gewichte; 
andere als Dezimalbrüche lassen sich also im Gebiete der Münzen und 
Gewichte gar nicht realisieren. 
Um den systematischen Bruch a in eine andere Form zu bringen, 
unterscheiden wir zwei Fälle: 
1. g^>v, dann wird 
« = %9‘ u ~ v + + 
2. ja < v, dann wird 
+ «, + *? + *? + 
_i_ a f l - 1 i . | a o 
9 ^ 9 ' 9 
Im Falle 1. ist a die Summe aus einer ganzen, in systematischer 
Form geschriebenen Zahl und einer Reihe von Brüchen, deren Nenner 
die aufeinanderfolgenden Potenzen von g und deren Zähler kleiner als 
g sind; im Falle 2. besteht a nur aus der Summe solcher Brüche. 
Die ganze systematische Zahl a x g l + a x _ 1 g l ~ x + • • • -f a x g + a 0 
konnten wir (vgl. Kap. I, § 10 A) ohne Befürchtung eines Mißver 
ständnisses in der abgekürzten Form ct z a^_ 1 ... schreiben, in 
dem wir festsetzten, daß a x , a A _ 1 , . . . a 17 a 0 die Koeffizienten der 
aufeinanderfolgenden Potenzen von g in absteigender Reihenfolge be 
deuten sollen, daß jede nicht vorkommende Potenz von g durch 
das Zeichen 0 vertreten wird und die letzte Ziffer stets die Einer be 
zeichnet. 
Dieser selben Methode können wir uns auch zum abgekürzten 
Schreiben der systematischen Brüche bedienen. Wir brauchen nur an 
die die Einer darstellende Ziffer die Zähler der Brüche mit den 
Nennern g, g 2 , g 3 usw. in unveränderter Reihenfolge anzuschließen mit 
hatten, folgte der Norddeutsche Bund 1866, das Deutsche Reich 1871/72. Die 
Geschichte des Rechnens berichtet auch von einer noch anderen Art systema 
tischer Brüche. Die Römer hatten ein ausgesprochenes Duodezimalsystem; sie 
hatten besondere Bezeichnungen für Brüche mit den Nennern 12, 24, 48, 72, 144, 
288. Diese Bezeichnungen bezogen sich ursprünglich nur auf die betreffenden 
Bruchteile des as, einer Kupfermünze von bestimmtem Gewicht, wurden nachher 
aber auch auf Bruchteile anderer Dinge übertragen. In der ersten Hälfte des 
Mittelalters bediente man sich beim praktischen Rechnen vielfach dieser Duo 
dezimalbrüche. Vgl. Cantor, Vorlesungen I, S. 489 und Tropfke, Gesch. d. 
Elementarmathematik I, S.,77.