§31). Division. 
105 
r. g . r, 
— = q _ -| 
n n 
(0 < g 2 < g, r 2 <n), 
so daß 
A „ . Ml _l & 4- — M 
n Ho-T g -T gil- g* „ 
In derselben Weise fortfahrend, findet man schließlicb: 
a _i_ ih _L & I . . . _i_ ^ 1 JL . 1 ^ 
^0 + n + n * + +^-l + ^ n • 
9 9 
Durch Multiplikation mit g? erhält man: 
£l r 
n 
9o * 9 q + 9i * # ?_1 + & • 5* 2 H b • 9 
r Q -i -9 
Da die linke Seite nach unserer Voraussetzung und jeder der q 
ersten Summanden auf der rechten Seite selbstverständlich eine ganze 
Zahl ist, gilt dasselbe auch von g 1 ~~ , d. h. wenn man an den Rest 
r {i _ 1 eine Null gehängt hat, muß die Division durch n aufgehen, und 
wenn nun Q 1 ^ = q n , so hat man für — die Entwicklung 
n ’ n 
z - „ J_ «• 4- «■ -l_ 
v - «• + 7 + ? + 
3(j-l 
+ 7^ 
9ü 
= 2o> 9.19.2 ■ • • 9 q -x9 q 
Man erhält den systematischen Bruch unmittelbar in der ab 
gekürzten Schreibweise, wenn man hinter die ganze Zahl q 0 die durch 
die sukzessiven Divisionen gefundenen Zahlen q if q 2 , ... q^_ 1} q Q 
schreibt und das Komma unmittelbar vor die Stelle q x setzt, die man 
nach Anhängen der ersten Null gefunden hat. 
Den ~ gleichen systematischen Bruch kann man auch noch auf 
einem anderen Wege finden, den wir der kürzeren Schreibweise wegen 
nur für g = 10 andeuten wollen. Wenn n = 2 1 ' 1 • 5% und wenn 
1. 
V 1 > v 2> 80 
S_ _ Z-5 Vl ~ V * 
n 2 1 ' 1 • 5 Vl 
Z-h v '~ v * 
10 1 ' 1 ; 
und 
2, 
v ± = v 2 , so ist 
z 
n 
z z 
10 1 ' 1 IO’ 21 
3. 
V 1 < V 2> 80 ^ 
z 
n 
z ■ 2 v *~ v i _ z ■ 2’ 2— 
2 1 ’ 2 • 5’ 2 IO’ 2 
Die Anzahl der Bruchstellen des entstehenden Dezimalbruchs ist