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III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
bestimmt. Nach der für die Summe einer geometrischen Reihe von 
unendlicher Gliederzahl aufgestellten Definition haben wir darunter 
die Zahl 
zu verstehen, und die ins Unendliche sich erstreckende Summe 
Q s Q t 
hat den bestimmten Wert q 0 -j \ - , den wir zur Abkürzung 
9 9 (9 —1) 
im folgenden auch durch P bezeichnen werden. Die Summe selbst 
nennt man im weiteren Sinne jetzt auch einen systematischen Bruch, 
und zwar einen „unendlichen“ systematischen Bruch im Gegensätze 
zu den bisher ausschließlich behandelten „endlichen“. Weil die Ziffern- 
gruppe q s + 1 q s + 2 • • • q s+t hinter der Ziffer q s sich immerfort wieder 
holt, nennt man den Bruch einen periodischen systematischen Bruch, 
die Stellen q s+1 ... q s + t die Periode und die Stellen gi ... q s , die sich 
nicht wiederholen, die Yorperiode. In abgekürzter Weise schreibt 
man den unendlichen periodischen systematischen Bruch 
wo der über die Stellen q s+1 . , . q s+t gesetzte Haken die Periode an 
deuten soll. Ist s = 0, fällt also die Yorperiode fort und beginnt die 
Periode demnach unmittelbar hinter dem Komma, so heißt der Bruch 
ein rein-periodischer systematischer Bruch; wenn s > 0, eine Yor 
periode also vorhanden ist, so heißt er gemischt-periodisch. 
Zu dem unendlichen periodischen systematischen Bruche 
2i2a ••• tfA+i ••• 4s+t • • • 
waren wir gelangt, indem wir das Divisionsverfahren, mittels dessen 
wir den Bruch —, wenn n keine anderen Primfaktoren als g besitzt, 
7 ' 
n 
immer in einen endlichen systematischen Bruch verwandeln können, 
in rein formaler Weise auch auf einen solchen Bruch — anwendeten, 
n 
dessen Nenner n die eben angegebene Voraussetzung nicht erfüllt. 
Daß in diesem Falle der vorher definierte Wert P des unendlichen