§ 4. Umwandlung eines getvöhnlichen Bruches in einen systematischen Bruch. 117 
wenn also die Periode nur aus der Ziffer g — 1 besteht. In diesem 
gleich 1, in jedem anderen Falle ist er kleiner als 1. 
2. Der periodische Bruch sei gemischt-periodisch. Dann ist 
Q s 9* Qt ~ Qs 
*V-1)” 
°> && • • • • • • 2,+t 
Q,9* + Qt = QiQi ■ • • QsQs+i • • • Vs+n 
Q s = ffife • •• &• 
Um den Zähler des Bruches zu bilden, hat man also die Ziffern 
der Yorperiode und der ersten Periode in unveränderter Reihenfolge 
als systematische Zahl zu schreiben und von dieser die als systematische 
Zahl zu betrachtende Yorperiode ahzuziehen. Der Nenner ist eine 
systematische Zahl, welche zuerst die Ziffer g — 1 so oft enthält, wie 
die Periode Stellen besitzt, und darnach so viel Nullen, wie in der 
Yorperiode Stellen vorhanden sind. 
Z. B. für g = 10 ist 
0,23 r 148 • • • 
23 148 — 23 23 125 25 
99 900 99 900 108 
Besteht insbesondere die Periode nur aus der Ziffer g— 1, so ist 
und 
= 0, !)• 
In diesem Falle also ist der Wert des unendlichen periodischen 
systematischen Bruches gleich demjenigen endlichen systematischen 
Bruche, den man erhält, wenn man den periodischen Teil fortläßt 
und die letzte Ziffer der Yorperiode um 1 erhöht. Für g — 10 ist 
z. B. 
2,357 y 9. .. = 2,358. 
Bricht man einen beliebigen periodischen systematischen Bruch 
hinter der Stelle q Q ab, wobei es gleichgültig ist, ob q Q zu den Yorziffern 
oder den Periodenziffern gehört, so ist zunächst klar, daß der Wert 
P des unendlichen systematischen Bruches größer ist als der end 
liche systematische Bruch P = q 0 , q t q 2 . . . q Q . Andererseits läßt sich 
leicht zeigen, daß die Summe der unendlich vielen fortgelassenen