120 
III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
Wählt man 2 als Grundzahl, so erhält man für den beliebigen 
Bruch ~ die Entwicklung q 0 + + -|| + • • • -f- -p-, wo die Zahlen 
nur die Werte 0 oder 1 haben können, mit einem Fehler, 
der kleiner ist als z. B. 
Von dieser Darstellung des Bruches ~ kann man eine geome 
trische Anwendung machen. Da sich jeder Winkel mittels Zirkel 
und Lineal in 2 2 , 2 4 , 2 6 usw. Teile teilen läßt, liefert die Gleichung 
unmittelbar eine angenäherte Konstruktion für die Teilung eines 
Winkels in drei gleiche Teile. Bricht man die Reihe mit dem Gliede 
ab, so beträgt der Fehler 
In bezug auf die Frage nach der Berechtigung, einen gewöhn 
lichen oder einen unendlichen systematischen Bruch durch einen an 
nähernd gleichen endlichen systematischen Bruch zu ersetzen, ver 
weisen wir auf die früher (S. 95 und 108) angestellten Betrach 
tungen über den Ersatz einer Wurzel oder eines Logarithmus durch 
einen Bruch. Wenn irgendwelche unendliche periodische systema 
tische Brüche durch die elementaren Rechenoperationen verknüpft 
werden sollen, und wenn man statt dessen dieselben Rechnungen mit 
den annähernd gleichen endlichen systematischen Brüchen ausführt, 
so kann das in dieser Weise gefundene Resultat im selben Sinne das 
eigentlich verlangte vertreten; denn bezeichnen wir wieder die end 
lichen systematischen Brüche, die aus den unendlichen P und P' ent 
stehen, falls wir sie nach der p ten Stelle abbrechen, mit P bezüglich 
P ', und setzen wir 
wo 
und 
so lehren die Gleichungen 
P __ jP i • W ' P 
p' p; ^ p/(p/+<v) »