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Vorwort. 
aber nicht spezielle Yorkenntnisse (mit Ausnahme einer Stelle im 
VII. Kap., S. 392) vorausgesetzt werden, dürfte auch solchen Elernentar- 
lehrern, welche an höheren Lehranstalten Rechenunterricht zu erteilen 
haben, das Studium der betreffenden Abschnitte die Möglichkeit bieten, 
diesen auf eiue wissenschaftliche Grundlage zu stellen und so die 
Schüler für den späteren Unterricht in der Arithmetik zweck 
entsprechend vorzubereiten. Aufgaben sind nur insoweit aufgenommen 
(namentlich in Kap. V, § 7, „Wahrscheinlichkeitsrechnung“), als sie 
zur Erläuterung der Theorie erforderlich schienen. 
Wert gelegt wird in allen Teilen des Buches auf exakte Dar 
stellung, auf scharfe Unterscheidung zwischen willkürlichen Fest 
setzungen und sich mit Notwendigkeit ergebenden Konsequenzen; bei 
allen Aussagen, Sätzen und Formeln ist angegeben, für welchen Zahl 
bereich sie gültig sind. Die Definitionen sollen dem Leser nicht un 
vermittelt, wie aus der Pistole geschossen, gegenübertreten; ich habe 
mich vielmehr bemüht zu zeigen, aus welchen Gründen man gerade 
auf diese oder jene Begriffsbestimmung gekommen ist. 
Besondere Beachtung ist solchen Punkten gewidmet worden, die 
auch noch in so manchen neueren Veröffentlichungen der nötigen Klar 
heit ermangeln (ich denke z. B. an die Multiplikation relativer Zahlen, 
S. 167—169, den Unterschied zwischen vollkommenen und unvoll 
kommenen Gleichungen, S. 172—173, S. 386—388 und S. 402—406, 
die Logarithmen negativer Zahlen, S. 396—397 und S. 399—402, usw.). 
Der in den meisten neueren wissenschaftlichen Darstellungen der 
Arithmetik üblichen rein formalen Definition der verschiedenen Zahl 
arten habe ich mich nicht anzuschließen vermocht (siehe z. B. S. 76). 
H. Hankel (Theorie der komplexen Zahlensysteme, Leipzig 1867, 
S. 7) und G. Cantor (Mathematische Annalen, Bd. 21, S. 562) haben 
es klar und deutlich ausgesprochen, daß man von der Realität irgend 
welcher Zahlbegriffe in zweierlei Sinne reden könne. Cantor legt 
einem Zahlbegriffe „immanente“ Realität bei, wenn dieser auf Grund von 
Definitionen in unserem Verstände einen ganz bestimmten Platz ein 
nimmt, von allen übrigen Bestandteilen unseres Denkens sich deutlich 
unterscheidet und zu ihnen in bestimmter Beziehung steht. Läßt sich 
aber von Zahlbegriffen außerdem noch zeigen, daß sie Abbilder von 
Objekten oder Beziehungen in der dem Intellekt gegenüberstehenden 
Außenwelt sind, so kommt ihnen nach Cantor „transiente“ Realität 
zu. Und wenn nun auch die reine Wissenschaft (die Cantor an der 
zitierten Stelle deshalb die „freie“ Mathematik nennt) bei ihren Speku 
lationen sich mit der immanenten Realität eines Zahlbegriffs begnügen 
kann, so ist nach meiner Ansicht für die Schule doch der Nachweis 
seiner transienten Realität unbedingt erforderlich. Es sind deshalb in 
dem vorliegenden Buche alle Zahlen aus Mengen hergeleitet, unter deren