142 JJJ. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
ist. Indem wir dann die (m + p, + p!) stellige Zahl auf m + ft Stellen 
reduzieren, kommt aber ein Fehler hinzu (vgl. I 7 Addition), der im 
ungünstigsten Falle, wenn nämlich die (m + p, + 1 ) te Stelle eine 4 
0 5 
oder eine 5 ist, 10 m+jr betragen kann, und den zu verkleinern nicht 
in unserer Macht liegt. Da infolgedessen der Gesamtfehler des (m -f p) 
stelligen Teilproduktes, ~b 0,5^---^—, doch nicht auf jeden Fall, 
wie groß wir p! auch wählen mögen, geringer als eine halbe Einheit 
der (m + ft) ten Stelle gemacht werden kann, begnügen wir uns damit, 
die Fehlergrenze auf eine Einheit der letzten Stelle herabzudrücken, 
und dazu reicht schon der Wert p,'= 1 aus. Man kürze also bei 
Beginn der Rechnung den Multiplikanden auf m -f- p, -f- 1 Stellen ab, 
so daß er die Form hat 
a i -10 ra-1 + a 2 -10 n ~' 2 -) J- a n _ 1 -10 ”t~ a n J r Jq jp 
M = jo m+fJ ' = iQm + fi > 
während der Multiplikator ist # 
1] = J) i.!l riLi-li.,,.. 
” i 10 ' 10 * t- 10 s -T 
Multipliziert man jetzt Ä' 1 ) mit den Einern des Multiplikators, d. h. 
bildet man das Teilprodukt 
(«i • 10 n_1 + r/, • 10 ,!_ 2 + • • • + « M _j • 10 + a n 4~ — ^ • b 0 
und reduziert im Kopfe sogleich auf Ganze, so ist auch im ungünstigsten 
Falle der Fehler des Teilproduktes Ä ■ b 0 kleiner als ^ • 9 + 0,5, 
also sicher kleiner als 1. Bei der Multiplikation mit ^ kann man 
das letze Glied ~ des Multiplikanden fortlassen, indem man, falls 
a 5, a n auf a n + 1 erhöht, und trotzdem gewiß sein, daß, wenn 
man sogleich wieder das Teilprodukt auf Ganze abkürzt, der Fehler 
kleiner als 1 bleibt. Multipliziert man nun mit ^, so streicht man 
die Ziffer a n des Multiplikanden usw., bis schließlich nur noch 
mit g^-10” -1 zu multiplizieren ist, nachdem man eventuell, wenn 
nämlich a 2 2> 5, % durch a x + 1 ersetzt hat. In jedem Teilprodukte 
ist der Fehler kleiner als 1, in der Summe der (w + 1) Teilprodukte 
1) Der Ersatz von A durch A', d. h. die Auffassung der Ziffern in der 
(m 4- y) tea Dezimalstelle von A als Einer, bezweckt hier nur eine kürzere und 
bequemere Ausdrucksweise.