III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
Ziffer von JR i : A { dieselbe sein wie die erste Ziffer des wahren Wertes 
des noch fehlenden Teiles des Quotienten; denn : A i und der noch 
fehlende Teil des Quotienten liegen beide zwischen und TJ V Ab 
gesehen von dem sogleich zu besprechenden Ausnahmefalle werden erst 
und 
7,(0) 
0 = - n -±ü 4- 
Ky m + n +1 I0 n + 1 ‘ 
. &Ä1 , 
'w 4- n +1 lQ n + 1 ' 
sich schon in der ersten Stelle unterscheiden können. Die Ziffer 
h' n +1, welche man durch die Division B m+n+1 : A m+n + 1 findet, kann 
dann aber von dem wahren Werte nicht mehr ab weichen, als sich die 
beiden Zahlen hn + i und &n*+i voneinander unterscheiden, d. h. der 
Fehler ist sicher kleiner als 5 Einheiten der (n -f- l) ten Stelle. Kürzt 
man sodann den Quotienten auf n Stellen ab, so kann noch ein Fehler 
von höchstens 5 Einheiten der (n + l) ten Stelle hinzukommen, so daß 
der gesamte Fehler des berechneten n stelligen Quotienten sicher nicht 
größer als eine Einheit der letzten (w ten ) Stelle ist. 
In besonderen Fällen kann es nun allerdings geschehen, daß auch 
schon für Werte von i, die < m -)- n, 0 { und U i nicht mit derselben 
Da aber O- — ü, < 
so kann die erste Ziffer 
von O i (wenn i < m + w), sich niemals um mehr als eine Einheit 
von der ersten Ziffer von unterscheiden. Wenn man in diesem 
Falle, auf dessen Eintreten man dadurch hingewiesen wird, daß sich 
B i nur in den letzten Stellen von einem ganzen Vielfachen von 
IQm-i. unterscheidet, für }) m _ i die erste Ziffer von O i und für alle 
folgenden Stellen (bis zur w ten Dezimalstelle inklus.) Nullen setzt, so 
unterscheidet sich das so gefundene Resultat von dem wahren Werte 
des Quotienten um weniger als eine halbe Einheit der w t611 Stelle. 
Die im vorhergehenden angestellten Überlegungen erläutern wir 
nunmehr an zwei Beispielen. 
1. Es soll der Quotient