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III. Kapitel. Die systematischen Brüche. 
B 
q, die größte in enthaltene ganze Zahl, kann also nicht 
größer als 10” sein. 
Wir wollen jetzt beweisen, daß stets 
Da 
ist auch 
und 
und weiter 
d. h. aber 
Wäre 
so müßte auch sein 
und 
oder 
{A + q—lf <A'<{A + q+1)*, 
2A > r, 
{q + l) 2 d- 2A>r 
2Äq + q 2 d~ 2q + 1 + 2Ä > E 
Ä*+ 2Aq + f + 2q + 1 + 2A > A', 
(-A-j-q+lf>A'. 
(A+(q- l)) 2 > Ä, 
2A(q-l) + {q-lf>B 
2A{q — 1) -f (q — l) 2 2Aq + r 
(2 - !) + (g ^ 2 + 
r 
2VA 
Diese Relation ist aber unmöglich; denn aus q 10 n und 
A^ 10 2 ” folgt: 
(ä - l) s < 10* 
d h («^<1 
2Ä ^ 2 
2 A ^ 2 • 10*” » 
Auf jeden Fall ist also 
(A + ( 2 — l)) 2 < Ä < (A + {q + l)) 2 . 
Je nachdem nun 
ist auch 
und 
> 2 
r=q\ 
und 
Wenn demnach 
1. r — qso ist 
wenn 2. r > q-, so ist 
R^=2Aq + q 2 
A'^(A + qf. 
A' = (A + qf, 
(A + qf < A'< (A + q + l) 2 
wenn 3. r < qso ist (A + q — l) 2 < A' < (A + qf.