§ S C. Das Rechnen mit aus Beobachtungen stammenden Zahlen. 153 
Es läßt sich übrigens auch leicht zeigen (vgl. Lloyd Tanner, 
Note on approximate evolution, Proceedings of the London Mathe 
matical Society, Yol. XXIII, 1892), daß unter Beibehaltung der bis 
herigen Bezeichnungen stets 
Damit ist Ä zwischen die Quadrate zweier Zahlen eingeschlossen, 
die sich nur um ^ unterscheiden, aber diese Zahlen sind im all 
gemeinen keine ganzen Zahlen. 
In ähnlicher Weise kann man auch die letzten Stellen einer 
Kubikwurzel durch eine einfache Division finden (vgl. die soeben 
zitierte Note von L. Tanner). Wir gehen darauf nicht näher ein, 
weil man sich beim Ausziehen der Kubikwurzel aus einer vielziffrigen 
Zahl doch gewöhnlich anderer, später (Kap. Y, § 5 E) zu besprechender 
Methoden bedient. 
C. Das Rechnen mit ungenauen Zahlen, deren Fehler nicht beliebig klein 
gemacht werden können. 
Sind die Zahlen a, b, c, . . . durch irgend welche Beobachtungen, 
z. B. Messungen, Wägungen oder dergleichen gefunden, so werden 
sie im allgemeinen nicht die genauen Werte der zu bestimmenden 
Größen sein. Man wird vielmehr nur behaupten können, daß die 
letzteren zwischen a — a und a -f- a, bezüglich b — ß und b + /3, 
c — y und c + y liegen, wo a, ß, y im Yergleich zu a, b, c kleine, 
sich aus der Art der Beobachtung ergebende Zahlen bedeuten. Wenn 
man nun mit den gefundenen Zahlen a, b, c, . . . irgend welche Rech 
nungen vornimmt, deren Ergebnis durch f{a, b, c,...) bezeichnet werde, 
so kann natürlich, selbst wenn man alle Rechnungen vollständig und 
ohne jede Abkürzung ausführt, infolge der möglichen üngenauigkeit 
von a, b, c, . . . auch dieses Ergebnis f{a, b, c,. . .) mit einem Fehler 
behaftet sein. Für einen beliebigen Rechnungsausdruck f{a, b, c,. . .) 
den möglichen Fehler anzugeben, ist an dieser Stelle nicht möglich. 1 ) 
Wir beschränken uns daher auf die einfachsten und wichtigsten 
speziellen Fälle. 
x = f (a, b, c,.. .) = a -f- b -\- c + • • •. 
(I) 
1) Unter Voraussetzung der Elemente der Differentialrechnung findet man, 
indem man f{a -f- a, h -f- ß, c -f- y) in eine Reihe entwickelt, für den möglichen 
7) -f 7) -P p y? 
Fehler den Wert qp = P- ■ a 4- pr ■ ß -j- tt- • y. In dieser Formel sind die oben 
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im Texte abgeleiteteten als Spezialfälle enthalten.