§ 1. Definition der relativen Zahlen. 
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ankommt, eine Bewegung von — Metern nach der einen Rich 
tung und eine von ~ Metern nach der andern Richtung ent 
gegengesetzte, sich aufhebende Elemente sind. 
3. Auf einen materiellen Punkt mögen nach einer und nach der 
genau entgegengesetzten Richtung irgend welche Kräfte wirken. 
Für die zustande kommende Bewegung sind eine Kraft in der 
einen Richtung und die genau gleich große in der andern 
Richtung in dem erwähnten Sinne entgegengesetzte Größen. 
Die Forderung, auch alle derartigen Mengen durch eine Zahl 
und einen Gattungsnamen zu charakterisieren, veranlaßt uns zur Ein 
führung einer neuen Art von Zahlen. Der einfacheren Ausdrucks 
weise wegen wollen wir uns zunächst einmal auf Mengen beschränken, 
bei welchen die Elemente jeder der beiden Gruppen für sich als gleich 
wertig zu betrachten sind und jedem Element einer der beiden Gruppen 
irgend eins der andern entgegengesetzt ist. Als erste Gruppe bezeichnen 
wir diejenige, deren Gattungsnamen wir zum Namen der gesamten 
Menge aus wählen. 
Wir abstrahieren jetzt wieder (vgl. Kap. I, § 1 und Kap. II, § 1) von 
allen besonderen Eigenschaften der Elemente unserer Menge, bleiben 
uns aber außer des ünterschiedenseins der einzelnen Dinge voneinander 
noch der Beziehung des Entgegengesetztseins von je einem Element 
der ersten Gruppe und einem der zweiten Gruppe bewußt und be 
zeichnen dasjenige, was bei dieser Art der Abstraktion aus einem 
Element der ersten Gruppe wird, mit 1* und das, was aus einem 
Element der zweiten Gruppe wird, mit 1'. 1* und 1' sind also 
Zeichen für irgend zwei als abgeschlossene Ganze zu betrachtende 
Dinge, an denen uns weiter nichts interessiert, als daß das gleich 
zeitige Auftreten von 1* und 1' mit dem Nichtvorhandensein beider 
gleichbedeutend ist. Analog wie Kap. I, § 1 bezeichnen wir die 
kollektive Zusammenfassung von 1* und 1* in unserem Bewußtsein 
mit 2*, die von 1' und 1' mit 2', die von 1* und 1* und 1* mit 
3*, die von 1' und 1' und 1' mit 3' usw. Ohne weiteres ist klar, 
daß 2* und 2', 3* und 3' usw. in dem angegebenen Sinn entgegen 
gesetzte Größen sind, sich in irgend einer Menge also gegenseitig auf- 
heben. Die durch die beschriebene Abstraktion und die kollektive 
Zusammenfassung gewonnenen Begriffe 1*, 2*, 3*, . . ., 1', 2', 3', . . 
nennen wir jetzt auch Zahlen, und zwar im Gegensätze zu den Kap. I, 
§ 1 definierten absoluten Zahlen „relative“ Zahlen 1 ), insbesondere 
1) Statt dessen sagt man in der elementaren Arithmetik häufig auch 
„algebraische“ Zahlen. Da aber in den späteren Kapiteln der Arithmetik unter 
algebraischen Zahlen etwas anderes verstanden wird, dürfte es zweckmäßiger 
sein, dieses Wort hier zu vermeiden.