160 IV. Kapitel. Die relativen Zahlen. 
die den Elementen der ersten Gruppe (deren Gattungsname der Name 
der gesamten Menge werden soll) entsprechenden „positive“ die den 
Elementen der zweiten Gruppe entsprechenden „negative“ Zahlen. 
Bedeutet a irgend eine natürliche Zahl, so nennt man a den absoluten 
Wert oder absoluten Betrag sowohl von a* wie auch von a', und 
man schreibt (nach Weierstraß) J a* | = a, a ==a. Der bequemen 
Unterscheidung wegen werden wir in diesem Kapitel die relativen 
Zahlen durch griechische Buchstaben, ihre absoluten Werte durch die 
entsprechenden lateinischen Buchstaben bezeichnen. 
Der Fall, daß die Elemente jeder der beiden Gruppen nicht ein 
ander gleichwertig sind, unter ihnen aber die vorher erwähnten Wert 
relationen bestehen, läßt sich leicht auf den eben behandelten zurück 
führen. Indem wir die vorkommenden Brüche (nach Kap. II, § 2) 
in solche mit gleichem Nenner verwandeln, können wir alle Elemente 
als Vielfache eines bestimmten darstellen, und so gelangen wir analog 
zum Begriffe der gebrochenen relativen Zahl. Das gleichzeitige Auf 
treten von und in einer Menge ist wieder gleichbedeutend 
mit dem Nichtvorhandensein beider. 
Enthält nun eine Menne — Elemente der ersten und — Ele- 
°n n 
mente der zweiten Art (die Brüche denken wir uns von vornherein 
in gleichnamige um gewandelt), und heben wir wirklich je zwei ent 
sprechende Elemente der beiden Gruppen gegeneinander auf, soweit 
es möglich ist, so muß einer der folgenden drei Fälle eintreten: 
I. Wenn z i = 0 2 , so bleibt nichts übrig; der Menge kommt die 
Zahl Null zu. 
II. Wenn z x > z 2 , etwa z x = z 2 -f- w, so bleiben u Elemente — 
der ersten Gruppe übrig. Die Menge ist alsdann bestimmt durch die 
Zahl und den der ersten Gruppe zukommenden Gattungsnamen. 
Eine solche Menge ist aber von genau derselben Art wie die in 
Kap. I und Kap. II behandelten Mengen, wir können sie also statt 
durch die positive Zahl auch durch die absolute Zahl ~ charak 
terisieren. Der Unterschied ist einzig und allein der, daß, wenn wir 
eine positive Zahl gebrauchen, zum Ausdruck gebracht wird, daß 
auch Elemente entgegengesetzter Art in Betracht kommen können, 
während bei Anwendung absoluter Zahlen diese Möglichkeit aus 
geschlossen wird. Wenn dieser, für das Rechnen selbst unerhebliche, 
Unterschied nicht besonders hervorgehoben werden soll, dürfen wir 
die positiven Zahlen durch die absoluten ersetzen, und wir werden 
deshalb auch von nun an für die positiven Zahlen ira allgemeinen die 
einfachere Bezeichnung 1, 2, 3 usw. anwenden.