§ 2. Addition. § 3. Subtraktion. 
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§ 3. Subtraktion. 
Unter der Differenz a — ß der beiden relativen Zahlen a, ß haben 
wir diejenige Zahl y zu verstehen, welche zu ß addiert a ergibt. Daß 
nicht mehr als eine solche Zahl y existieren kann, folgt aus §2B, II. 
Ist ß eine positive Zahl h, so ergibt sich aus der Identität 
h + (u -J- h) = a, 
daß die gesuchte Differenz y = a + 6'. Ist aber ß eine negative Zahl 
6', so folgt in derselben Weise aus 6' + (« + 6) — a, daß y = a + 6. 
Die Differenz zweier relativen Zahlen ist also stets gleich 
der Summe aus dem Minuenden und der zum Subtrahenden 
entgegengesetzten Zahl. Da im Gebiete der relativen Zahlen zu 
jeder Zahl die entgegengesetzte existiert, und da sich zwei relative 
Zahlen immer addieren lassen, ist jetzt also auch die Subtraktion 
stets möglich. Wie die Einführung der gebrochenen Zahlen (Kap. II, 
§ 4, S. 85) für die Division die Beschränkung beseitigte, daß der 
Dividend ein Vielfaches des Divisors sein mußte (Kap. I, § 6B), so 
werden wir durch Einführung der relativen Zahlen jetzt von der Be 
dingung befreit, daß in einer Subtraktionsaufgabe der Minuend stets 
größer als der Subtrahend sein müsse. 
Aus dem allgemeinen Satze von der Unabhängigkeit einer Summe 
von der Reihenfolge der einzelnen Additionen ergibt sich, daß man 
eine Summe relativer Zahlen addieren kann, indem man die 
Summanden einzeln addiert. 
Statt eine Summe relativer Zahlen zu subtrahieren, 
kann man den der Summe entgegengesetzten Wert, also nach 
§ 2B, I den Ausdruck, den man erhält, wenn man jeden 
Summanden durch seinen entgegengesetzten Wert ersetzt, 
addieren. 
In diesen Sätzen stecken als Spezialfälle die Formeln Kap. I, 
§ 4 B, (I)—(VI), S. 15, wie man sofort erkennt, wenn man die da 
selbst auftretenden Differenzen als algebraische Summen schreibt. Im 
Gebiete der relativen Zahlen ist die Gültigkeit dieser Formeln nicht 
mehr an die Bedingung geknüpft, daß in jeder der vorkommenden 
Differenzen der Minuend größer als der Subtrahend ist. 
Die Gleichung 
a — h = a + h', 
insbesondere für den Fall a = 0, 
o-6 = o +fe 7 = r 
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