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IV. Kapitel. Die relativen Zahlen. 
Wenn ß eine positive Zahl bedeutet, so ist die so gebildete 
Zahl cp identisch mit dem Produkte der Zahlen cc, ß. 
Weiter ist leicht zu zeigen, daß, wenn a und ß beliebige relative 
Zahlen sind, für die Rechenoperation, durch welche cp aus a und ß 
entsteht, dieselben Gesetze gelten, die wir Kap. I, § 5 B und C für 
die Multiplikation absoluter Zahlen abgeleitet haben. Die Gültigkeit 
des kommutativen Gesetzes, a • ß — ß • cc, und die des assoziativen, 
(cc ■ ß) • y — a • (ß • y), ist evident. Um auch die Richtigkeit der Formel 
(cc + ß)-y = cc-y + ß- y 
(distributives Gesetz) nachzuweisen, müssen wir die Fälle, daß cc, ß, y 
positiv oder negativ sind, einzeln durchgehen. 
Es sei 1. 
cc = — a, ß = - b, y = + c, 
dann ist (nach § 2 A, I) 
cc + ß = — (a + &) j 
also 
(« + ß) * V = — [(« + 6) • c] 
(nach der vorher gegebenen Definition); andererseits 
a ■ y == — ac, ß ■ y = — hc und a • y + ß • y = — (ac + 6c). 
Da für absolute Zahlen (a + h)c = ac + hc, so ist im Falle 1. 
das distributive Gesetz bewiesen. 
Es sei 2. 
a = — a, ß = -f b, (a > b) und y = — c, 
dann ist (§ 2 A, II) 
a-\-ß = — a + b = — (a —b), 
(« + ß) ' y = + [(«-&) • c], 
andrerseits 
cc ■ y = + ac, ß • y = — bc, cc • y + ß ■ y = + (ac — bc), 
und da für absolute Zahlen 
(a — b)c = ac — bc, 
so gilt auch im Falle 2. das distributive Gesetz. 
Für die noch fehlenden Fälle ist der Beweis ganz ähnlich zu 
führen. Da nun alle Formeln des Kap. I, § 5 C aus dem kommuta 
tiven, dem assoziativen und dem distributiven Gesetze hergeleitet 
worden sind, ohne daß es nötig war, auf die Bedeutung des Produktes