§ 6. Division. § 7. Potenzieren und Radizieren. 
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m 
B. Der Exponent sei eine positive gebrochene Zahl —. 
Entsprechend der Kap. II, § 5 B, S. 87 gegebenen Definition 
haben wir unter cc n zu verstehen (Y cc) . 
I. a sei eine positive Zahl. 
1. n ungerade. 
Es gibt keine negative Zahl, deren Potenz gleich cc ist, 
und sicher (vgl. Kap. I, § 8 A) nicht mehr als eine positive. 
Entweder existiert eine derartige positive Zahl x, und dann ist 
m 
= x m , oder es lassen sich (Kap. II, §5 0, III, S. 92 u. ff.) zwei 
positive Zahlen x t und x 2 so finden, daß x t n < cc < x 2 n und daß 
x 2 — x t kleiner als eine beliebig klein gegebene positive Zahl d ist. 
Wie S. 95 auseinander gesetzt, kann man in diesem Falle, wenn 
es nicht auf absolute Genauigkeit ankommt, die in unserem Zahlen 
bereiche nicht vorhandene Zahl cc n durch eine der beiden Zahlen 
xi 1 oder x 2 m ersetzen. 
2. n gerade. 
Existiert eine positive Zahl x, so daß x n = a, so ist in 
diesem Falle auch (—x) n = a. Das Symbol cc n =Y cc hat als- 
dann die beiden Werte -f x und—x, und a n = [y cc), falls m un 
gerade ist, die beiden Werte + x m und —x m , falls m gerade 
ist, nur den einen Wert + x m . Gibt es eine solche Zahl x 
nicht, so bestehen außer den Ungleichungen 
xi < a < xi (x 2 — x x < ò) 
auch noch die Ungleichungen 
(- x t Y < « < (- x,y, 
wo 
( Ä'i) ( xi) — x 2 x^ <C à. 
II. a sei eine negative Zahl. 
1. n ungerade. 
Entweder gibt es eine einzige negative Zahl — x, deren n te 
m 
Potenz gleich a ist, und dann haben wir a n = (— x) m , oder es 
lassen sich zwei negative Zahlen (— xi) und (— x 2 ) angeben, 
deren Differenz dem absoluten Werte nach unter einer beliebig 
klein angenommenen Grenze S liegt, so daß 
(— xi) n < Ci <{— xi) n .