§ 7 C. Potenzen mit negativen Exponenten, § 8. Logarithmieren. 175 
positiven Exponenten. Daß das wirklich zutrifft, ist jetzt leicht zu zeigen. 
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einzuführen, an den Potenzen 
Man braucht nur für a~ x den Wert 
CC' 
mit positiven Exponenten die als erlaubt bewiesenen Umformungen 
vorzunehmen und schließlich wieder zu Potenzen mit negativen Ex 
ponenten überzugehen. So ist z. B. 
ferner: 
+* . = = a-ü- x ï= a +x -y, (x <y); 
(a~ x y y — — = —— = a x y = «(-*)• (-*) usw. 
Ebenso leicht ist der Beweis zu führen, daß auch die übrigen 
Formeln Kap. I, § 7 B, I—Y gültig bleiben, wenn die in ihnen vor 
kommenden Exponenten sämtlich oder zum Teil negativ sind. Da 
aber ausschließlich auf diesen Formeln alles Rechnen mit Potenzen 
beruht, brauchen wir jetzt tatsächlich beim Umformen irgend welcher 
Ausdrücke keinen Unterschied mehr zu machen, ob in den vorkom- 
menden Potenzen der Exponent einen positiven oder einen negativen 
Wert hat, und damit ist die vorher aufgestellte Definition der Potenzen 
mit negativen Exponenten als zweckmäßig gerechtfertigt. 
§ 8. Logarithmieren. 
Im Bereiche der absoluten Zahlen haben wir x den Logarithmus 
der Zahl a für die Basis g genannt, wenn g x = a. Um an dieser 
Stelle unnötige Komplikationen zu vermeiden, beschränken wir uns 
vorläufig auf eine positive Basis g und nennen | den Logarithmus 
von a, wenn $ = a. Im Gebiete der relativen Zahlen kann aber g* 
zweiwertig sein (§ 7 B, I, 2), wenn nämlich £ ein Bruch ist, der zum 
Zähler eine ungerade und zum Nenner eine gerade Zahl hat. Damit 
zu jedem Logarithmus nur ein einziger Numerus gehöre, fügen wir 
jetzt zur Definition des Logarithmus die Bedingung hinzu, daß, wenn 
zweiwertig ist, der Hauptwert von g% gleich a sein solle 1 ). So 
1) Der innere Grund für diese Festsetzung, daß nämlich nur die Haupt 
werte einer Potenz Werte ein- und derselben Funktion sind, während die nega 
tiven Werte ganz verschiedenen Funktionen, je nach dem Nenner des Expo 
nenten angehören, kann erst nach Einführung der komplexen Zahlen eingesehen 
werden. Alsdann werden wir auch den Logarithmus einer beliebigen komplexen 
Zahl für eine beliebige komplexe Basis definieren. Ygl. Kap. VII, § 4 D u. E.