§ 1 A. Permutationen. 
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Die Differenz beider Anzahlen ist der absolute Wert von 2(£ — rf), 
also jedenfalls eine gerade Zahl. Da nun aber entweder xy oder yx 
eine Inversion ergibt, unterscheiden sich die Anzahlen der Inversionen 
in (I) und (II) um eine ungerade Zahl. 
Die Gesamtheit der Permutationen von n Elementen teilt man 
in zwei Klassen. Zur ersten rechnet man alle die, in denen die 
Anzahl der Inversionen eine gerade Zahl ist, man nennt sie „gerade 
Permutationen“, zur zweiten alle die, in denen die Anzahl der Per 
mutationen eine ungerade Zahl ist, man nennt sie „ungerade Per 
mutationen“. Zur Klasse der geraden Permutationen gehört die 
Hauptpermutation, sowie alle die Permutationen, welche sich aus 
ihr durch eine gerade Anzahl von Transpositionen herleiten lassen; 
der Klasse der ungeraden Permutationen gehören alle diejenigen an, 
zu welchen man von der Hauptpermutation durch eine ungerade An 
zahl von Transpositionen gelangen kann. 
Satz: Die Anzahl der geraden Permutationen wie die der 
ungeraden Permutationen beträgt -\n\ 
Beweis: Man denke sich in jeder geraden Permutation dieselbe 
Transposition ausgeführt, z. B. in allen die beiden ersten Elemente 
vertauscht. Auf diese Weise erhält man lauter voneinander ver 
schiedene ungerade Permutationen. Die Gesamtzahl der ungeraden Per 
mutationen muß also mindestens ebenso groß sein wie die der ge 
raden. Da man aber in gleicher Art schließt, daß auch die Gesamt 
zahl der geraden Permutationen mindestens ebenso groß sein muß 
wie die der ungeraden, so folgt, daß beide Anzahlen einander gleich 
sind, jede also \n\ beträgt. 
Vielfach hat man auch „Permutationen mit beschränkter Stellen 
besetzung“ behandelt, d. h. solche, bei welchen gewisse Elemente von 
gewissen Stellen ausgeschlossen sind. L.Euler (Mémoires de St. Peters- 
bourg, III, für 1809 u. 1810, herausgeg. 1811, S. 57) hat z. B. unter 
sucht, wie viele Permutationen der Zahlen 1, 2, 3, . . . n so beschaffen 
sind, daß keins der Elemente auf seinem natürlichen Platze steht. 
M. Cantor und Baur (Zeitschr. f. Math. u. Phys. 2 (1857), S. 103 
u. S. 267) haben sich mit der Aufgabe beschäftigt: Gegeben sind 2» 
Elemente, von denen je zwei gleich sind, a i} a x ; a 2 , a 2 ; ... a n , a n . 
Auf wie viele Arten können sie so permutiert werden, daß nicht zwei 
gleiche Elemente unmittelbar aufeinander folgen? usw. Wegen der 
Lösung dieser und anderer hierher gehöriger Probleme verweisen wir 
auf das bereits zitierte Lehrbuch der Kombinatorik von E. Netto, 
Leipzig 1901. 
Bildet man aus den gegebenen n Elementen Mengen oder „Kom 
plexionen“, deren jede nicht sämtliche Elemente, sondern nur eine be-