184 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
Wenn auch einige der a lf a. 2 , ... a m öfter als 1cmal Vorkommen 
sollten, so brauchen wir zur Bildung der Variationen k tev Klasse doch 
nicht mehr als die angegebenen Elemente. Man setze nun au die erste 
Stelle irgend ein Glied der ersten Reihe, an die zweite unabhängig 
hiervon irgend ein Glied der zweiten Reihe usw., an die k te Stelle 
(Je Faktoren) 
irgend ein Element der k ten Reihe. Da dies auf m ■ m • • • m — m k Arten 
geschehen kann, ist die Anzahl der Variationen /c ter Klasse mit 
unbeschränkter Wiederholung von n Elementen, unter denen 
es gerade m voneinander verschiedene gibt, gleich m k . Auf 
den Wert von n kommt es also gar nicht an, es ist nur nötig, daß 
■ 1c; 1c muß selbstverständlich kleiner als n, kann aber größer 
als m sein. 
Beispiel: Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 lassen sich 5 3 = 125 drei- 
ziffrige Zahlen bilden, wenn in einer Zahl an verschiedenen Stellen 
auch gleiche Ziffern stehen dürfen. 
C. Kombinationen. 
I. Kombinationen ohne Wiederholung. 
Wenn uns in der einzelnen Komplexion die Reihenfolge der Ele 
mente gleichgültig ist, zwei Komplexionen also nicht mehr als ver 
schieden gelten, falls sie aus denselben Elementen, aber in verschiedener 
Reihenfolge bestehen, so nennt man die Komplexion eine „Kombi 
nation“, und zwar eine „Kombination ohne Wiederholung“, wenn die 
n Elemente, aus denen wir die zur Bildung der Komplexion ver 
wendeten k Elemente entnehmen, sämtlich voneinander verschieden 
sind. Da je k\ Variationen k ter Klasse ohne Wiederholung, welche 
sich nur durch die Reihenfolge ihrer Elemente unterscheiden, sich auf 
eine einzige Kombination reduzieren (die wir uns immer so geordnet 
denken können, daß keine Inversion vorkommt), so wird die Anzahl 
der Kombinationen ohne Wiederholung von n Elementen zur k ten Klasse 
n (*) _ VÜ _ «(w-l)(n-2)-.-(n-fe + l) 
kl kl ’ 
oder auch 
Bei der Vertauschung von k mit n — k bleibt die rechte Seite un- 
geändert, also 
(?(«-*) = C № 
n n * 
Die Richtigkeit dieser Formel ergibt sich auch aus der Über 
legung, daß jedesmal, wenn man aus n Elementen k zu einer Gruppe