vereinigt, (n — k) übrig bleiben, daß sieb also aus n Elementen ebenso 
viele Kombinationen zu {n — k) Elementen bilden lassen wie zu 
k Elementen. 
Die Zahl 
n(n — 1) (n — 2) • • • (n — Je -)- 1) _ n\ 
je] (w —Ä)!ÄI' 
die wir soeben als Wert von CJ® gefunden haben, tritt in vielen 
mathematischen Entwicklungen auf. Man hat deshalb für sie ein ab 
kürzendes Zeichen , gelesen: n über k, eingeführt 1 ). 
Unter den Zahlen bestehen sehr viele Relationen 2 ); wir be 
schränken uns auf die Herleitung der einfachsten und wichtigsten. 
a) In der Gleichung 
CH«”*)’ 
die zunächst nur gilt, wenn 1 k n — 1, hat die linke Seite auch 
noch eine Bedeutung für k = n, es ist nämlich = 1. Legen wir 
dem an sich bedeutungslosen Symbol ^ j den Wert 1 bei, so besteht 
die Gleichung auch für k — 0 und k — n. 
b) Es ist 
C) + C-i )=rt 1 )- 
Erster Beweis: Bringt man und ^ J auf den gemein 
samen Nenner k\, so wird 
/n\ / n \ n{n — 1) • • • (n — k-\-2)(n — k -f-1) -f- n (n— l)---(n—k-\-2)k 
U / + u -1) = tt" 
n (n — 1) • • • (w — k -f- 2) (n — k -f- 1 -f- k) 
= k\ 
=cn- 
( n _i_ i \ 
k j Kombinationen von 
(n -(-1) Elementen zur /o ten Klasse ohne Wiederholung teile man in 
zwei Gruppen. In die erste bringe man alle die Kombinationen, 
§ 1 C, I. Kombinationen ohne Wiederholung. 
185 
1) L. Euler schrieb erst j^”J, später 5 den Bruchstrich hat dann Rahe 
(Joum. f. Math., Bd. 42 (1851), S. 350) wieder fortgelassen. 
2) Ygl. E. Netto, Lehrbuch der Kombinatorik, § 156, auch H. Schubert, 
Niedere Analysis (Leipzig 1902), I. Teil, § 4.