188 V. Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen.
Beziehung zu gewissen geometrischen Figuren 1 ). Wenn man jede
Seite (a) eines gleichseitigen Dreiecks in v gleiche Abschnitte
Schnittpunkte gleich weit entfernten
Teilpunkte je zweier Seiten durch (zur dritten Seite parallele) Gerade
miteinander verbindet, so zerfällt das gegebene Dreieck in eine Anzahl
(v 2 ) gleichseitiger Dreiecke mit der Seite a. Die Zahl der Eckpunkte
sämtlicher Teildreiecke beträgt
1+2+3+4H v + (y -1- 1) = ^ ;
ist also gleich der (v-f-l) ten figurierten Zahl zweiter Ordnung. Dieser
Beziehung wegen heißen die figurierten Zahlen zweiter Ordnung auch
Dreieckszahlen.
Teilt man drei in einer Ecke zusammenstoßende Kanten eines
regelmäßigen Tetraeders in je v gleiche Abschnitte (a), legt durch
je drei von dieser Ecke gleich weit entfernte Teilpunkte Ebenen und
zerlegt dann wie vorher jedes der ausgeschnittenen v Dreiecke (die
Grundfläche eingerechnet) in gleichseitige Dreiecke mit der Seite a 7
so beträgt die Anzahl der sämtlichen Eckpunkte
ist also gleich der (v + l) ten figurierten Zahl dritter Ordnung. Des
wegen heißen die figurierten Zahlen dritter Ordnung auch Tetraedral-
zahlen.
Weiter gehen wir auf die figurierten Zahlen nicht ein, da ihnen
in der neueren Mathematik nicht mehr dieselbe Bedeutung wie im
16. bis 18. Jahrhundert beigelegt wird. Vgl. Baltzer, Elemente,
1. Bd., 2. Buch § 28.
II. Kombinationen mit Wiederholung.
Eine Kombination 7ri er Klasse von n Elementen gehört zu den
Kombinationen mit Wiederholung, wenn die n Elemente, aus denen
man li zu ihrer Bildung herausgegriffen hat, nicht sämtlich voneinander
verschieden sind. Es mögen wieder wie in B II (S. 183) von den
n Elementen gleich a t , a 2 gleich a 2 , ... p m gleich a m und
Ml + i u 2 + ■ ' ' + ib» = n
1) Die Veranschaulichung dieser Zahlen durch geometrische Gebilde stammt
aus der pythagoreischen Schule. Vgl. Cantor I, S. 157. Auch spätere grie
chische Mathematiker haben sich vielfach mit den figurierten Zahlen beschäftigt;
Diophant hat eine besondere Abhandlung über „Polygonalzahlen“ verfaßt;
vgl. Cantor I, S. 454.
