198 y. Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
(«1 + ¿*2 + * * * + Clin)‘ l = JV 
0, 1, 2, ..., n, 
(«i + a 2 H h « m = n). 
Diese Formel nennt man den „polynomischen Lehrsatz“ 1 ). 
Setzt man zur Abkürzung 
a i + % + ’ ' ‘ + a m = F 
und faßt auf der rechten Seite alle Glieder zusammen, welche den 
selben Koeffizienten bekommen, so wird 
p2 = a u 2 + 2^%a v , 
ps = ^a u 3 _(_ 3j?a u 2 a v + QjSa u a v a Q , 
P* =2%* + 4 ^a u \+6j£aja v 2 + 12 ^a^a v a Q + 2A^a fl a v a Q a <J 
usw., wo das Zeichen ^ andeutet, daß die Summe aller derjenigen 
'(X V ™(7 
Glieder genommen werden soll, die aus dem hingeschriebenen ent 
stehen, indem man für ja, v, q, ö, . . . alle Wertsysteme setzt, in 
denen diese Indices irgend welche voneinander verschiedenen Werte aus 
der Reihe 1, 2, 3, . . m haben. 
Die Entwicklung von {a x -f- a 2 + • • • -+- a m ) n steht in enger Be 
ziehung zu den Variationen und den Kombinationen w ter Klasse mit 
Wiederholung. Läßt man die beim Ausmultiplizieren der n Klammern 
auftretenden Glieder als Produkte stehen, ohne die abkürzende Potenz- 
Schreibweise anzuwenden, so bilden sie die sämtlichen Variationen mit 
Wiederholung der m Elemente a 1} a 2 , . .., a m zur w tett Klasse, deren 
.Anzahl nach § 1 B, II, S. 184 m n beträgt. Betrachtet man die Glieder, 
welche sich nur durch die Stellung ihrer Faktoren unterscheiden, welche 
also dasselbe Produkt . . . a“m ergeben, nicht als verschieden, 
so hat man die sämtlichen Kombinationen mit Wiederholung von m 
Elementen zur n ten Klasse; daher beträgt die Anzahl der voneinander 
verschiedenen Glieder in der Entwicklung von (a t -f- a 2 -| \- a m ) n nach 
§ 1 C II, S. 190, • Auf so viele Arten läßt sich also auch die 
1) Er findet sich zuerst erwähnt in einem Briefe von Leibniz an Jo 
hann Bernoulli (Mai 1695). Die angegebene Beweismethode ist natürlich auch 
für die Herleitung des binomischen Satzes zu gebrauchen.