202 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
F% = F x + 2axy ■ f = Aa z x z y 2 — 8a 2 x 3 y 2 -f- 12a 2 xy 5 — 4a 3 i/ 5 . 
also 
und 
d. b. 
0 = 4a 3 # 3 i/ 2 : aa? 3 i/ = 4a 2 «/. 
-F 3 — 4a 2 i/ • f== 0; 
+ 2axyf — 4 a?yf= 0, 
F — 3x*f -f- 2axyf — 4:a 2 yf = 0, 
F —f • (3# 3 — 2a#i/ + 4a 2 i/). 
Häufig Yorkommende Quotienten sind: 
(af* — */") :{x — y) = x n ~ x + x n ~ 2 y + x n ~ z y 2 + • • • + iCi/” -2 -f- «/ n-1 ; 
(a; 2 " + 1 4- ?/ 2n+1 ) : (#-f-i/) = :c 2M — x 2n ~ i y x 2n ~ 2 y 2 xy in ~ 1 + y in 
Wählt man für F und f beliebige Summen von Produkten von 
Potenzen, so führt die Anwendung unseres Divisionsyerfabrens auf 
F, f im allgemeinen nicht zu dem Reste Null, wie weit man auch 
rechnen möge; es gibt dann eben keine Funktion g derselben Art, so 
daß F = f ■ g. Man kann in diesem Falle das Verfahren bis zu einer 
beliebigen Stelle fortsetzen, muß dann aber den zugehörigen Rest an 
geben. Wenn z. B. 
F = x 2 + y 2 , f = x + y, 
so gebt die Division F: f nicht auf. Berechnet man den Quotienten 
x — y + • * • bis zu dem Gliede (— l) w - , so bleibt 
2 v n 1 
der Rest (— l) w + 1 - ^ es besteht also die Gleichung: 
i!±i.*_a_ y + ?£_»£+ 
X-\- y J X X ‘ 
+ (-!)”• 4S + (-l)” + 1 
2 y 
,n + 1 
Für y = 1 wird 
iC S + 1 
X -j- 1 
X x n 1 (x + y) 
1 I 2 2 . 
x — 1 -f- ® -)- 
x x- 
+ (- 1)” + 1 
x n ~ l (x 1) 
Wenn x > 1 und 8 eine beliebig klein gegebene positive Zahl be 
deutet, so kann die positive ganze Zahl n stets so bestimmt werden, daß