210 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
Mittels der Gleichungen, die aus (Y) hervorgehen, indem man 
sukzessive p — 2, 3, 4, . . . setzt, kann man nacheinander aus dem 
schon bekannten Werte von - die Summen 
- s (2) s (3) , s (4) •. . 
°n 7 °n 7 ö n 7 * 
berechnen. 
Es lassen sich aber noch bequemere Rekursionsformeln für die 
Potenzsummen finden, indem man die Gleichung hinzunimmt: 
(x — l)i ,+1 = x p+1 — ^ xp + x P ~ 1 — Ij" ^ x p ~ 2 -f- • * • + 
+ (- 1)”- 1 • f t') + (- !)’ • f t') ■* + (- !) P+1 - 
auch in dieser für x die Zahlen 1, 2, 3,. .., n einsetzt und die ent 
stehenden Gleichungen addiert, wobei man erhält: 
(vi) o=+• - ( p +q g.w+f+ x ) s." - ■> - f+') ä.«>-«+• • • 
+ (-1)»- 1 • f t X ) *. W + (- O* -fl 1 ) s » 0) + (-1) , + 1 -"■ 
Durch Addition bezüglich Subtraktion von (Y) und (VI) erhält 
man weiter die Relationen: 
(VII) (M + iy + 1 - 1 + nf + 11 + 2 (* + *) sp- *> + 2 ( p + *) sp~ » + • • ■, 
(Falls p gerade, heißen die letzten Glieder: 
2f , + 1 )s„( s ) + 2( J >+ 1 X< 1 ); 
falls p ungerade, heißen die letzten Glieder: 
2 ft 1 ) s ” (2)+ 2n •) 
CVIII) (n + iy + 1 = 1 - nf+ 1 -f 2 s n M + 2 sj*-~ 2 > ■4- • • • • 
(Wenn p gerade, lauten die letzten Glieder: 
2 fl 1 )*«+ 2«; 
wenn p ungerade, lauten die letzten Glieder: 
2f + 1 ) S / , + 2f + 1 ) S «.) 
Die Gleichungen (YII) und (YIII) sind für die rekurrente Be 
rechnung der Potenzsummen noch geeigneter als (Y) und (Yl), weil 
sie weniger Glieder enthalten.