218 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
also 
(I) 
oder 
Mittels dieser Formeln (I) berechnet man aus den schon ge 
fundenen Werten von P m und P m _ 1 schrittweise P m _ 2 , P m _ 3 , ..., P 1; P 0 
und findet dann: 
Nach der über die Teilnenner gemachten Voraussetzung sind P m 
und P m _ x von Null verschiedene positive ganze Zahlen. Aus der 
Rekursionsformel (I) ergibt sich 7 daß alsdann auch alle P mit niedrigerem 
Index von Null verschiedene positive ganze Zahlen sein müssen; die 
Brüche V m> V m _ 1 , . .., V lf V 0 haben also sämtlich bestimmte, end 
liche Werte. 
Nachdem wir das festgestellt haben, können wir den Kettenbruch 
auch nach einer anderen Methode berechnen, die sich als noch zweck 
mäßiger erweisen wird. Wir setzen 
0 = 0, 1, 2, ..., m), 
und suchen U„ in einen gewöhnlichen Bruch ^ umzuwandeln. Dabei 
•“ ° N u 
sollen Z fl und N die Werte von Zähler und Nenner bedeuten, die 
wir erhalten, wenn wir die auftretenden Brüche rein formal, durch 
Fortschaffen der Doppelbrüche, auf ihre einfachste Form bringen, ohne 
sie sonst zu heben oder zu erweitern. Die entstehenden Brüche 
welche, wie wir sogleich sehen werden, zu dem Werte K des Ketten 
bruches in enger Beziehung stehen, werden „Näherungsbrüche“ 
des Kettenbruchs genannt. Damit nicht nur K, sondern auch alle 
diese Näherungsbrüche einen bestimmten, endlichen Wert haben, müssen 
wir jetzt voraussetzen, daß die sämtlichen Teilnenner von Null ver 
schieden sind bis auf Jc 0 , das auch gleich Null sein kann.