§ 4 B. Näherungsbrüche der einfachen Kettenbrüche. 
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Es ist 
also z o = h, -Wo — 1; 
als0 + «i-».- 
Aus U l entsteht U 2 , indem man \ durch \ + — ersetzt, deshalb: 
Tr z 2 k ° { kl + +1 hiKK + V + K 
t. ,1_ « + i ’ 
*1 I" r, 
/tg 
also: 
Z 2 = ^2-^1 "b “^o; -A 2 = N 0 . 
Um zu zeigen, daß allgemein: 
(II) Zjt = Up Z/x-i + Z lßl -2, = A* /x JV U _i + > 
wenden wir das Verfahren der vollständigen Induktion an. 
Z . 
JJ = entsteht aus indem man A ersetzt durch 
j« +1 
' > 1 Ä- 
> + 1 
auftritt, wird 
Da in Z u _ lt Z u _ 2 , N' lf N u _ 2 der Teilnenner h nicht 
also: 
W = (*" + O z, - 1 + z, - i _ + */.-*)+Vi 
+ 1 + + ^-2) + 
3. + 1 ^'u + l^u d - -17 A T (( +x 
A w + A’_ 1 
Wenn demnach die Formeln (II) für den Index ¡i richtig sind, 
gelten sie auch für den Index ¡a + 1. Da für den Index 2 ihre 
Richtigkeit feststeht, sind sie hiermit für alle Werte (i = 2, 3, .. ., m 
bewiesen. 
Mittels dieser Formeln (II) können wir nacheinander 1 ) in ein 
facher Weise die sämtlichen Näherungsbrüche 
I V 0 , U 17 U„ u m _ x , U m = K 
1) Wegen der direkten Berechnung des Zählers und Nenners irgend eines 
bestimmten Näheruugsbruches vergleiche man S. Günther, Darstellung der 
Näherungswerte von Kettenbrüchen in independenter Form. Habilitationsschrift, 
Erlangen 1872.