§ 4B. Näherungsbrüche der einfachen Kettenbrüche. 
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müßte auch Teiler der linken Seite, also auch Teiler von (— l)" -1 
sein, was unmöglich ist. Gleichung (III) dividieren wir durch N _ x N u 
und erhalten: 
(IV) 
** 
1 
iH 
1 
¡s 1 
C- l)'*“ 1 
** 
i 
rH 
1 
Die Differenz zweier aufeinanderfolgenden Näherungsbrüche ist 
also so klein, wie überhaupt nur die Differenz zweier Brüche mit 
diesen Nennern sein kann. 
Aus Gleichung (IV) ergibt sich weiter: 
Z, 
Z 0 
1 
N, 
No 
N X N 0 ’ 
z* 
z> 
1 
N, 
N, 
N S N X ’ 
Vi 
<-1)" ! 
N u-i 
N u - 2 
N/t — i N u _ 2 
z u 
V. 
(- l)^“ 1 
N n 
W-x 
Durch Addition dieser g, Gleichungen erhalten wir: 
(Y) Jjü _ /,• — 1 1 ... j_ ^ i_ 
1 j jy* A 0~ JVj Nq N 2 N x + + Np _ r Np _ 2 + NpNp_ t 
Gleichung (V) stellt den Näherungsbruch j— durch eine alge 
braische Summe dar, deren Glieder abwechselndes Vorzeichen haben 
und immer kleiner werden 1 ). Gehen wir von einem Näherungswert 
zu einem anderen mit größerem Index über, so bleiben die bereits 
vorhandenen Glieder der Summe ungeändert, es kommen aber neue 
hinzu. 
Vergleichung des Kettenbruehs mit seinen Näherungswerten. 
Wir können setzen: 
H — (/c 0 , Jc X) Ti%, ..., u x)y 
wo 
^ = (ß/ii) ^u + 17 • • 'f ^m)' 
1) Diese Bemerkung ist vor allem wichtig für den Fall, auf den wir jetzt 
allerdings nicht eingehen, daß der Kettenbruch sich ins Unendliche erstreckt.