§ 4 B. Vergleichung des Kettenbruchs mit seinen Näherungswerten. 223 
X-Tc fl <l und 
folgt aus dem Vergleiche der rechten Seiten von (VI) und (VII), daß 
(VIII) IK-U fl \<\K- 
Jeder folgende Näherungsbruch kommt also dem Werte 
des Kettenbruchs näher als ein vorhergehender. 
Aus diesem Satze und der aus (VI) abgeleiteten Folgerung er 
gibt sich, daß 
U 0 < Ü2< Ü4< •<!£<,•< U 5 < U 3 < Ui. 
Die Näherungsbrüche mit geradem Index bilden also eine zu 
nehmende, die mit ungeradem Index eine abnehmende Reihe; beide 
nähern sich immer mehr dem Werte K des Kettenbruchs, welcher 
gleich dem letzten Gliede entweder der ersten oder der zweiten Reihe 
ist, je nachdem m zu den geraden oder zu den ungeraden Zahlen 
gehört. 
Man kann leicht auch noch die Differenz zwischen zwei aufein 
ander folgenden Gliedern einer der beiden Reihen bestimmen: 
Ö