224 V. Kapitel. Rechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
und um so mehr: 
\K-v,_ x \> 
also; 
<\K- U M _i|< 
Um zu zeigen, daß die Näherungsbrüche die vollkommenste An 
näherung an den Wert des Kettenbruches geben, beweisen wir den 
Satz: 
Wenn der Bruch sich von dem Werte K des Ketten- 
o 
bruches (Jc 0 , Jc 1} & 2 , k m ) weniger als der Näherungsbruch 
2 
ü, , = unterscheidet, so ist a> Z„, b > N„. 
Beweis: Aus der gemachten Voraussetzung und der aus (VI) ge 
zogenen Folgerung ergibt sich, daß ~ zwischen U^ und TJ^_ X liegen 
muß, und zwar ist, 
falls fi gerade, U fl <-^< V fl _ 1 , 
falls p ungerade, U a > -y > U u _ l . 
Demnach haben stets TJ„ —% sowie ~ — U„ , dasselbe Vor- 
Zeichen wie (— l)*" -1 . Nun ist 
aN u 
* ft b ~ r N M 
Z !U-1 _ aN ft-l- hZ u-l 
und 
t~j‘ a a b Zu 
U v~T = Nu~T = ' N^b 
h 
Setzen wir also 
a y-r et 
~ U /u~l = ~h ~ 
N 
n-i 
bN, 
fi-i 
und 
aN„ 
hZ^-aN^i- iy-'a 
-i-^ft-1-(- i)""% 
so sind cc und ß von Null verschiedene positive ganze Zahlen. Multi 
plizieren wir die erste der beiden letzten Gleichungen mit Z /u _,, die 
zweite mit Z und addieren beide, so erhalten wir: 
»(W - VA) - (- V, + P 
oder wegen (III), S. 220 
folglich 
a = uZfc-i + ßZ, 5 
a > Z n .