§ 4JD. Darstellung eines Bruches als Summe von Partialbrüchen. 233 
Diese Kongruenzen werden befriedigt durch 
a = 2; 
Also ist 
Da 
bat man 
zu setzen. 
/3 = 2; 
16 2 2 
315 — T "■* ~5 
+ y + AT. 
2_ _2_ 8_ __ 881 
¥ T Y — siö’ 
K=—l 
§5. Das Rechnen mit Logarithmen im Bereiche der rationalen Zahlen. 1 ) 
A. Geschichtliches über den Ursprung der Logarithmen. 
Die Logarithmen hat man anfänglich nicht, wie es jetzt üblich 
ist (vgl. Kap. I, § 8 A), als Potenzexponenten definiert; man setzte 
vielmehr eine geometrische Reihe a, aq, aq*, . . ., aq n , ... in Be 
ziehung zu einer arithmetischen 0, d • 1, d • 2, . . ., d ■ n, . . ., indem 
man je zwei Glieder von gleicher Stellenzahl einander zuordnete. 
Daß eine Multiplikation zweier Glieder der geometrischen Reihe 
einer Addition der zugehörigen Glieder der arithmetischen Reihe ent 
spricht, hat schon Archimedes in seiner Sandrechnung bemerkt. 
Weiter verfolgt wurde dieser Gedanke am Ende des 15. Jahrhunderts 
von dem französischen Mathematiker Chuquet und später namentlich 
von Michael Stifel, welcher in seiner Arithmetica integra (1544) 
deutlich sagt, daß der Addition in der arithmetischen Reihe Multiplikation 
in der geometrischen, der Subtraktion in der arithmetischen Division 
in der geometrischen, der Multiplikation in der arithmetischen Potenz 
erhebung in der geometrischen und der Division in der arithmetischen 
Wurzelausziehung in der geometrischen Reihe entspricht. Das, was 
1) Wenn auch eine auf der genauen Definition des Logarithmus einer be 
liebigen positiven Zahl für irgend eine positive Basis beruhende Theorie der Log 
arithmen positiver Zahlen erst nach Einführung der irrationalen Zahlen möglich ist, 
so sind tatsächlich doch die Logarithmen nicht nur ursprünglich als rationale 
Zahlen in die Wissenschaft eingeführt worden, sondern auch jetzt noch dürfte recht 
vielen, welche die Logarithmen praktisch zu benutzen haben, der exakte Begriff 
der irrationalen Zahl fremd sein, insbesondere wird allgemein im Unterricht der 
Schüler mit ihnen bekannt gemacht, bevor er erfährt, in welchem Sinne man 
von der Existenz irrationaler Zahlen spricht. Es scheint mir deshalb das Be 
dürfnis vorzuliegen, sich auch schon im Bereiche der rationalen Zahlen mit den 
Logarithmen und ihren Anwendungen abzufinden. Auf die eigentliche Definition 
des Logarithmus einer beliebigen Zahl für eine beliebige Basis werden wir selbst 
verständlich später (vgl. Kap. VI, § 7 E u. Kap. YII, § 4 E) zurückkommen.