§ 7 C, I. Satz von der vollständigen Wahrscheinlichkeit.
C. Zusammengesetzte Wahrsclieiulichkeitsaufgaben.
Bei der Lösung zahlreicher, zum Teil recht komplizierter Auf
gaben ergaben sich eine Reihe von Regeln, die Laplace in seiner
„Theorie analytique des probabilités“ (Paris 1812) auf einige wenige
feste Prinzipien reduzierte, welche immer wieder zur Anwendung
kommen. Wichtig sind vor allem zwei Sätze:
I. Satz von der „vollständigen“ oder „totalen“ Wahrscheinlich
keit oder der Wahrscheinlichkeit des „Entweder oder“.
Wenn ein Ereignis sich auf n verschiedene, einander
ausschließende Arten E x , E 2 ,.. .,E n verwirklichen kann, denen
bezüglich die Wahrscheinlichkeiten w x , w 2 , ,.., w n zukommen,
so ist die Wahrscheinlichkeit w für das Eintreten von E
gleich der Summe w x -f- w 2 -f • • • w^).
Beweis: Die y für das Ereignis E günstigen Fälle zerfallen in
n Gruppen, nämlich eine Gruppe von g 1 Fällen, die E x günstig sind,
eine Gruppe von g 2 Fällen, die E 2 günstig sind, usw., endlich eine
Gruppe von g n Fällen, die E n günstig sind. Man hat also, wenn die
Anzahl der aus dem gegebenen Bedingungskomplex hervorgehenden
gleich möglichen Fälle m ist.
w =
9i + 9a H h ff n
h. j_ h. _i_
m m
+
Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurfe
mit drei Würfeln mehr als 12 zu erzielen?
Lösung: Der erwartete Erfolg ist erreicht, wenn entweder die
Summe 13 (wofür die Wahrscheinlichkeit w 13 sei) oder die Summe
14 (Wahrscheinlichkeit w 14 ) usw. oder die Summe 18 (Wahrscheinlich
keit w 18 ) erscheint. Von diesen Ereignissen können bei einem Wurf
nicht etwa zwei gleichzeitig eintreten; also dürfen wir den soeben be
wiesenen Satz I anwenden und finden die gesuchte Wahrscheinlichkeit
w = w x g -)- -f- • • • -f- w
Durch einfaches Abzählen der günstigen Fälle (vgl. die Galilei sehe
Aufgabe unter B, S. 269) erhält man:
21 15 10 6 3
216
216’
Wli 216 ;
IV,
also:
10
216* 2Ï6
W =
56
216
7
27
1) Laplace faßt JE 1 , E 2 ,.. .,E n als ungleichmögliche günstige Fälle von
E auf.
w x + w 2 -f
