288 F. Kapitel. Bechenoperationen im Bereiche der rationalen Zahlen. 
Urne s ± Kugeln, welche die Nummer 1 tragen, und von denen a t 
weiß sind, s 2 Kugeln, welche die Nummer 2 tragen, und von denen 
a 2 weiß sind usw., endlich s n Kugeln, welche die Nummer n tragen, 
und yon denen a n weiß sind. Die n verschiedenen Ursachen werden 
hier durch die n Gruppen von Kugeln dargestellt, deren v t& aus s v 
Kugeln besteht. Die apriorische Wahrscheinlichkeit für das Wirksam- 
werden von U v , d. h, für das Greifen einer Kugel aus der Gruppe der 
mit v hezeichneten, ist co v = wo S = s 1 + s 2 -j h s n : die Wahr 
scheinlichkeit, daß, falls U v wirksam ist, das beobachtete Ereignis ein- 
tritt, d. h. die Wahrscheinlichkeit, daß, wenn man aus der Gruppe der 
mit v hezeichneten Kugeln eine greift, diese weiß ist, beträgt w v = ~- 
Man habe nun aus der Urne eine Kugel gezogen und konstatiert, daß 
sie weiß ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie der mit 
der Nummer r hezeichneten Gruppe angehört? 
Da man die Farbe der gezogenen Kugel kennt, hat man die An 
zahl der möglichen Fälle gleich der Anzahl der weißen Kugeln in der 
Urne, also gleich a x + a 2 -j- • • • -f a n zu setzen; die Zahl der für die 
Ursache U r günstigen Fälle ist gleich a r , daher die gesuchte Wahr 
scheinlichkeit : 
w = 
r «i + a a d h a n 
_fl [_ ^2 i 
S s 9 ' S 
+ 
W r m r 
W X + W 2 a 2 + h W n a n 
Diese Formel ist die Bayessche Regel für den Fall b). 
II. Bestimmung der Walirsclieinliclikeit künftiger Ereignisse 
auf Grund von Beobachtungen. 
Häufig sind unsere Kenntnisse zu unvollkommen, um für ein zu 
erwartendes Ereignis die Wahrscheinlichkeit a priori bestimmen zu 
können. Wenn wir z. B. von einer Urne nur wissen, daß sie weiße 
und schwarze Kugeln enthält, aber nicht, in welchem Verhältnisse 
diese gemischt sind, so fehlt uns die sichere Grundlage, um die Wahr 
scheinlichkeit für das Ziehen einer weißen Kugel angeben zu können. 
Liegen aber schon die Ergebnisse früherer Ziehungen von Kugeln 
aus dieser Urne vor, so kann man dieselben benutzen, um die Wahr 
scheinlichkeit für einen bestimmten Erfolg bei künftigen Ziehungen 
zu ermitteln.