§ 7 E, II. WahrscheinlichJceitsbestimmung auf Grund von Beobachtungen. 289 
Es sei ein Ereignis E beobachtet worden, welches nur durch 
einen der einander ausschließenden Bedingungskomplexe U x , U 2 ,. ■ ■, ü n 
verursacht sein kann. Wie unter I. sei die Wahrscheinlichkeit, daß 
aus der Existenz von U v das Ereignis E hervorgeht, w v und co v die 
apriorische Wahrscheinlichkeit für das Wirksam werden von ü v (v = 1, 
2,..n). Gefragt wird nach der Wahrscheinlichkeit Wf eines künftigen 
Ereignisses F, das auch nur entweder aus U x oder aus JJ 2 usw. oder 
aus U n hervorgehen kann. Die Wahrscheinlichkeit, daß, falls ü v 
wirksam ist, F eintritt, betrage 
Die nach der Bay es sehen Regel aus der Beobachtung von E 
für die Existenz von TJ V berechnete Wahrscheinlichkeit ist 
WyCOy 
v w 1 a 1 w n ca n ’ 
also die Wahrscheinlichkeit für das zusammengesetzte Ereignis, daß 
einerseits ü v wirksam ist und aus der als wirksam vorausgesetzten 
Ursache U v das Ereignis F hervorgeht, gleich dem Produkte W v w v ', 
deshalb die totale Wahrscheinlichkeit, daß F entweder durch U x oder 
durch ü 2 usw. oder durch U n zustande kommt, 
W F = W x w x +W 2 w 2 '+---+W n w n ' 
= M X w i + Wg 01gIV 2 ' H \-w n a n w n ’ 
W t + w» co 2 -4 h w n co n 
In dem speziellen Falle, daß co 1 = to 2 = • • • = co^, nimmt die 
rechte Seite den einfacheren Wert 
w x w x + w/ H 1- w n w n ' 
v>i + «’s H \-™ n 
an. 
Beispiel: In einer Urne mögen sich fünf Kugeln befinden. Man 
wisse nur, daß sie zum Teil weiß, zum Teil schwarz sind, aber nicht, 
wie viele es von jeder Art gibt. Man hat vier mal je eine Kugel 
herausgenommen und sie jedesmal vor der neuen Ziehung wieder 
hineingelegt. Bei drei Ziehungen hat man eine weiße, bei einer 
Ziehung eine schwarze Kugel erhalten. Wie groß ist nun die Wahr 
scheinlichkeit, daß, wenn man abermals eine Kugel herausgreift, diese 
weiß ist? 
Lösung: In bezug auf den Inhalt der Urne sind nur die folgen 
den vier Annahmen möglich: 
U x : 4 weiße, 1 schwarze Kugel; 
U 2 : 3 weiße, 2 schwarze Kugeln; 
U 3 : 2 weiße, 8 schwarze Kugeln; 
U x : 1 weiße, 4 schwarze Kugeln. 
Färber: Arithmetik. 
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