§ 1. Gründe für die Erweiterung des Zahlbereiches. 
293 
Zahlen, 
im Anfänge 
doperationen: 
Reiniger Aus- 
gemeinen aber 
5ahl und das 
ine beliebige 
Für alle An- 
; denn, wenn 
rzel nicht ge- 
zen rationaler 
eliebig wenig 
können wir 
liebig kleiner 
arithmus des 
L), und da es 
m wi äderholt 
andern immer 
wisse Grenze 
das praktische 
’hysik, Astro- 
nur mit den 
Lhmg des Yerf.: 
i. Luisenstädt. 
aalysis mit den 
kommen sollen, 
If“ (J. f. Math., 
der rationalen 
hen Gleichung 
Dem gegenüber entspringt aber aus dem theoretischen Bedürf 
nisse der reinen Mathematik nach ausnahmsloser Ausführung der 
Rechenoperationen die Frage, ob man nicht einen neuen Zahlbegriff 
einführen und die Rechenoperationen mit diesem so definieren könne, 
daß auch Gleichungen wie x 2 = 3 oder 10* = 2 in aller Strenge auf 
lösbar werden. Noch von einem anderen Gesichtspunkt aus macht 
sich das Bedürfnis nach Erweiterung des Zahlbereiches geltend. 
Wenn man auf einer nach beiden Seiten unbegrenzten geraden Linie 
einen Punkt 0 und außerdem eine bestimmte Strecke @ wählt, so 
kann man jeder rationalen Zahl r einen einzigen bestimmten Punkt 
der Geraden zuordnen, nämlich den, welchen man erhält, wenn man 
von 0 aus die konstruierbare Strecke abträgt, und zwar nach 
einer willkürlich festgesetzten Seite von 0 aus, falls r positiv, nach 
der entgegengesetzten, falls r negativ ist. Zwischen zwei beliebigen, 
einander noch so nahen, in dieser Art zu findenden „rationalen" 
Punkten der Geraden liegen immer noch unzählig viele andere; denn, 
wenn r t und r 2 zwei voneinander verschiedene positiv* rationale Zahlen 
bedeuten und etwa r 2 > r t ist, so ist z. B. die rationale Zahl - 1 - 
größer als r t , aber kleiner als r 2 , und deshalb liegt der dem Werte 
Tl Ti entsprechende Punkt zwischen den zu r t und r 2 gehörigen 
Punkten. Ebenso erkennt man, daß zwischen den Punkten (r x ) und 
(~ 1 '~2~ ?8 ) sicher wieder mindestens ein einer rationalen Zahl ent 
sprechender Punkt liegt usw. Trotzdem also etwa zwischen den 
Punkten (1) und (2) unendlich viele derartige rationale Punkte 
sich befinden, kommen wir auf die beschriebene Art doch keines 
wegs zu sämtlichen Punkten der zwischen (1) und (2) liegenden 
Strecke. Dem Punkte z. B., welchen man erhält, wenn man von 0 
aus die Diagonale SD des Quadrats mit der Seite @ ab trägt, kann 
unmöglich ein rationaler Punkt entsprechen. Wäre nämlich SD = r@, 
so müßte nach dem Pythagoreischen Lehrsätze das Quadrat über 
SD = doppelt so groß wie das Quadrat über d. h. r 2 = 2 
sein. Eine rationale Zahl, deren Quadrat gleich 2 wäre, gibt es 
aber nicht (Kap. II, § 5 C, S. 92). Es erhebt sich deshalb die Frage: 
Können wir solchen Punkten der Geraden, denen keine rationale 
Zahl entspricht, nicht Zahlen einer neu zu definierenden Art zu 
ordnen? 
Zur Beantwortung der aufgeworfenen Fragen scheint es uns am 
zweckmäßigsten, von den Algorithmen auszugehen, mittels deren wir 
früher die Aufgaben des Quadratwurzelausziehens und des Logarith- 
mierens in deih vorher angegebenen Sinne gelöst haben. Bedeutet A 
eine beliebige positive rationale Zahl und n eine beliebige positive