z. B. beliebigen Strecken 5t, 93, (£, ... irrationale Zahlen a, ß, y, 
derart zuzuordnen, daß, wenn im geometrischen Sinne 5t = 93, 
in dem von uns noch zu definierenden Sinne a = ß, und daß, wenn 
(£ die geometrische Summe der Strecken 5t und 93 darstellt, auch 
y = Ci -f- ß usw. 
Wir beginnen jetzt mit der Einordnung der Doppelreihen in die 
Reihe der rationalen Zahlen. Es sei zunächst (a B ; A n ) eine Doppel 
reihe, die den rationalen Wert a besitzt. Die hinreichende und not 
wendige Bedingung dafür, daß irgend eine rationale Zahl r kleiner 
als dieser rationale Wert a ist, besteht darin, daß r kleiner ist 
als alle a n von einem bestimmten Werte des Index n an; die hin 
reichende und notwendige Bedingung für r > a besteht darin, daß r 
größer ist als alle A n von einem bestimmten Werte des Index an, und 
endlich die hinreichende und notwendige Bedingung für r = a ist, daß für 
alle Werte von n gleichzeitig r~>a n und r<A n . Daß diese Bedingungen 
hinreichend sind, ist selbstverständlich; daß sie auch notwendig sind, 
ergibt sich in folgender Weise. Durch genügend große Werte von 
n kann die Differenz a — a n kleiner als irgend eine angebbare positive 
Zahl, demnach, wenn r < a, auch kleiner als a — r gemacht werden. 
Aus a — a n < a — r folgt aber r < a n . Ebenso kann die Differenz 
A n — a durch Wahl eines genügend großen Wertes von n beliebig 
klein gemacht werden, also, falls r > a, auch kleiner als r — a, woraus 
sich r > A n ergibt. 
Wenn nunmehr (a n ; A n ) eine Doppelreihe ohne rationalen Wert, 
also eine irrationale Zahl ist, die wir mit a bezeichnen wollen 1 ), so 
definieren wir jetzt die Größenbeziehungen zwischen a und irgend 
einer rationalen Zahl r durch diejenigen Relationen zwischen r und 
a n , A n , welche wir soeben als hinreichend und notwendig für die be 
treffenden Größenbeziehungen zwischen r und einer Doppelreihe (a B ; A n ) 
von rationalem Werte nachgewiesen haben, d. h., wir wollen dann und 
nur dann r < a nennen, wenn r kleiner ist als alle a n von irgend 
einem bestimmten Werte des Index an, dann und nur dann r > a, 
wenn r größer ist als alle A n von irgend einem Werte des Index an. 
Hieraus folgt sofort, daß die irrationale Zahl cc größer ist als alle 
Glieder a n des ersten Teils der sie definierenden Doppelreihe und 
kleiner als alle Zahlen A n des zweiten Teils dieser Doppelreihe. 
Zwei irrationale Zahlen (a n ; A n ) = a und (& B ; B n ) = ß sollen 
einander gleich heißen, wenn jede rationale Zahl, die kleiner (be 
züglich größer) als a ist, auch kleiner (bezüglich größer) als ß ist, 
1) Die irrationalen Zahlen werden wir in diesem Kapitel im allgemeinen 
durch griechische, die rationalen Zahlen durch lateinische Buchstaben bezeichnen.