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VI. Kapitel. Die irrationalen Zahlen. 
(für alle Werte von n, n), kann also nur cc < ß oder cc = ß sein. 
Ebenso ergibt sich aus h n , < A n (für alle Werte von n, n), daß ent 
weder ß < cc oder ß = cc. Wenn nun für alle W'erte n, n' gleich 
zeitig a n < B n , und b n , < A n , so muß cc = ß sein. Umgekehrt schließt 
man leicht aus cc = ß, daß für alle Werte n, n' notwendig a n <.B n , 
und b n , < A n ist; denn es ist jedes a n < cc, also nach der für die 
Gleichheit zweier irrationalen Zahlen aufgestellten Definition auch 
jedes a n <C /3; nun ist aber ß kleiner als irgend ein B n ,, folglich 
a n < B n r, ebenso ergibt sich h n . < AJ). 
Die hinreichende und notwendige Bedingung für cc > ß besteht 
darin, daß für genügend große Werte von n, n auch a n > B n .\ denn, 
wenn «>/3, so gibt es eine rationale Zahl r derart, daß cc>r>/3, also 
für hinreichend große Werte von n, n einerseits a n > r und anderer 
seits r > B n ,, woraus a n > B n , folgt. Weiß man umgekehrt, daß 
a n > B n ’ genügend große Werte von n, n, so ergibt sich aus 
den Ungleichungen cc > a n , a n > B n ,, B n , > ß, daß cc > ß sein muß. 
Ein und dieselbe irrationale Zahl kann der Wert von mehreren 
Doppelreihen sein, deren Glieder voneinander verschieden sind. Es 
läßt sich aber jede irrationale Zahl durch eine eindeutig bestimmte 
Doppelreihe dar stellen, z. B. so, daß die Glieder systematische Brüche 
mit einer beliebig gewählten Grundzahl g sind, jedes Glied eine Stelle 
mehr enthält als das vorhergehende und die Differenz zweier ent 
sprechenden Glieder beider Hälften eine Einheit der letzten Stelle be 
trägt. Ist die irrationale Zahl cc durch die Doppelreihe (a w ; A n ) ge 
geben, so können wir nach Annahme einer beliebigen positiven ganzen 
Zahl v den Index n so groß wählen, daß A„ — a„< Man bestimme 
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nun die positive ganze Zahl h v derart, daß a n < 
Or -f- i 
9 V : 
also 
A n < ^ 2 - Es ist dann < a < ^ 2 • Man hat jetzt noch cc 
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mit 1 zu vergleichen; je nachdem cc ^ ist ^ < cc < ~ v ~^r~ 
oder gv" 1 < « < 2 • Damit haben wir cc zwischen zwei Brüche 
eingeschlossen, deren Nenner g v sind, und deren eindeutig bestimmte 
Zähler sich um 1 unterscheiden. Bezeichnen wir den kleineren der 
beiden Zähler jetzt mit c v (also entweder c v =b v oder c v =b v -\- 1), 
1) Wenn die beiden Doppelreihen A„) und (6„.; B n ) die rationalen 
Werte a bezüglich b haben, so kann von einem gewissen Werte des Index n an 
stets a n = a und von einem gewissen Werte des Index n' an stets B n ,— b sein. 
Alsdann würde aus a—b für die betreffenden Werte der Indices a n = B n , 
folgen. Yon diesem Falle abgesehen, gilt das oben angegebene Kriterium auch 
für Doppelreihen von rationalen Werten.