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§ 1. Darstellung d. irrationalen Zahlen durch Beihen v. systemat. Brüchen. 301 
so ist —£ < cc < - • indem wir diese Rechnung für alle positiven 
ganzzahligen Werte von v und für v = 0 ausgeführt denken, erhalten 
( c c -4- 1\ 
— r j, die wegen der für alle Werte von 
C C I i 
v geltenden Ungleichungen < cc < r tatsächlich gleich der 
vorgelegten irrationalen Zahl a ist. Daß die beiden Doppelreihen 
C v + IN 
und 
deren Glieder systematische Brüche mit derselben Grundzahl g sind, 
nur dann dieselbe irrationale Zahl darstellen können, wenn c v = d v 
für alle Werte von v, ist leicht zu erkennen. 
Wir dürften uns also jede irrationale Zahl auf die Form 
(2jl. £r_±i) 
V’ 9 V ) 
gebracht denken und uns dementsprechend bei der weiteren Behand 
lung der irrationalen Zahlen auf Doppelreihen dieser Art beschränken. 
Da jedoch für diese speziellen Doppelreihen die Erklärung der Rechen 
operationen sich umständlicher gestaltet als für die allgemeinen, 
ziehen wir es vor, die letzteren beizubehalten. Wir haben aber dann 
die Verpflichtung, bei jeder Rechenoperation nachzuweisen, daß das 
Resultat ungeändert bleibt, wenn man eine der auftretenden Doppel 
reihen durch eine andere von gleichem Werte ersetzt. 
§ 2. Addition, 
Es seien (a w ; A„) = a und (& n ; B n ) = ß zwei irrationale Zahlen. 
Wir zeigen zunächst, daß die Doppelreihe A n +B n ), welche 
entsteht, wenn wir je zwei entsprechende Glieder 1 ) der vorgelegten 
Doppelreihen addieren, die zur Definition einer bestimmten Zahl er 
forderlichen Eigenschaften 2 ) besitzt. 
Aus 
a n£ a n+1 < Ä n+i£A 
und 
K < K + l < B n +1 < B n 
folgt: 
° n +Kt^ a n+1 + \ +1 < A n+1 + B n+1 <^A n +B n . 
1) Man würde zu einer Doppelreihe von gleichem Werte gelangen, wenn 
man jedes a zu jedem b und jedes A zu jedem B addierte. 
2) Siehe S. 295 u. 297.