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VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
in Bd. I, S. 147 — 183 der Encyklopädie der Mathematischen Wissen 
schaften. 
Wir wollen nun in § 2, der Hauptsache nach im Anschluß an 
Weierstraß (und zwar insbesondere an die im Wintersemester 1882/83 
gehaltene Vorlesung), die Theorie der aus zwei Einheiten zusammen 
gesetzten komplexen Zahlen entwickeln und zeigen, durch welche 
Forderungen man mit Notwendigkeit auf die gewöhnlichen komplexen 
Zahlen geführt wird, dann in § 3 ein Größensystem nach weisen, für 
welches sich Verknüpfungen definieren lassen, die den Rechenopera 
tionen an den gewöhnlichen komplexen Zahlen vollkommen ent 
sprechen und schließlich in § 4 zeigen, daß in dem Gebiete dieser 
komplexen Zahlen unsere sieben Rechenoperationen stets ausführbar 
sind, so daß damit die Arithmetik, soweit sie sich auf letztere bezieht, 
zu einem befriedigenden Abschluß geführt ist. 
§ 2. Theorie der aus zwei Einheiten gebildeten komplexen Größen. 
A. Definition. Gleichheit. Addition und Subtraktion. Übergang zu 
anderen Einheiten. 
Wir sind zu den natürlichen Zahlen (Kap. I, § 1) gelangt, indem 
wir von Mengen ausgingen, deren sämtliche Elemente für den im 
Vordergründe des Interesses stehenden Zweck als gleichwertig an 
gesehen werden dürfen, zu den gebrochenen (Kap. II, § 1) durch 
Untersuchung von Mengen, zwischen deren Elementen gewisse Wert 
relationen bestehen, und zu den relativen (Kap. IV, § 1), indem wir 
Mengen in Betracht zogen, in denen einander entgegengesetzte Ele 
mente Vorkommen. Alle diese Mengen konnten wir außer durch 
einen Gattungsnamen durch eine einzige Zahl vollständig charak 
terisieren. Wir wenden uns nunmehr zum Studium von Mengen, die 
sicher zwei Elemente enthalten, zwischen denen keine der erwähnten 
Beziehungen besteht, d. h., es sollen weder beide als gleichartig be 
trachtet werden dürfen noch das eine irgend einem rationalen oder 
auch irrationalen Vielfachen des andern oder des zum andern entgegen 
gesetzten äquivalent sein. Wie früher abstrahieren wir wieder von 
allen besonderen Eigenschaften dieser Elemente, bleiben uns nur der 
soeben gekennzeichneten Unabhängigkeit des einen vom andern be 
wußt und bezeichnen das, was bei dieser Abstraktion aus den beiden 
Elementen wird, als die Einheiten bezüglich e 2 . In der betrachteten 
Menge dürfen nun auch beliebig viele zu e x oder e 2 gleichwertige 
und auch alle durch 
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n 1 ’ n r ’ n 2 ’ n 2