§ 2 A. Definition der aus zioei Einheiten gebildeten komplexen Zahlen. 339 
(n x , n 2 beliebige ganze Zahlen) zu bezeichnende Elemente verkommen. 
Weiter setzen wir voraus, daß, wenn y = (c n ; G n ) irgend eine irratio 
nale Zahl bedeutet (siehe Kap. VI, § 1), auch Größen a bezüglich h 
existieren, so daß für alle Werte von n 
c n ci < a < G n e x und c n e 2 < h < C n e 2 , 
wir also im Einklänge mit Kap. VI, § 8 unter ye x bezüglich ye 2 diese 
Größen a, h zu verstehen haben. 
Durch Anwendung der in den früheren Kapiteln auseinanderge 
setzten Methoden können wir alle zu e x in Beziehung stehenden Glieder 
der Menge zu einem einzigen, a 1 e x , und ebenso alle zu e 2 in Beziehung 
stehenden Glieder zu dem einen Gliede a 2 e 2 zusammenziehen, unsere 
Menge also durch das Symbol (c^q, a 2 e 2 ) charakterisieren, wo nun 
« x ,a 2 irgend welche positiven oder negativen, rationalen oder irrationalen 
Zahlen bedeuten 1 ). Das Symbol cc 2 e 2 ) wollen wir nunmehr 
auch als eine Zahl auffassen, und zwar nennen wir es zum 
Unterschiede von den bisher eingeführten reellen Zahlen eine kom 
plexe Zahl, weil es in nichts anderem besteht als dem Komplexe 
der beiden reellen Zahlen a x , a 2 , d. h. ihrer Zusammenfassung zu einem 
Begriffe. Die reellen Zahlen sind unter den komplexen enthalten; sie 
entsprechen dem Falle, daß die Menge nur Elemente von einerlei Art 
enthält, ihr also das Symbol (a x e x , 0) oder einfacher a x e x zukommt 2 ). 
Die Berechtigung, einen solchen Inbegriff zweier Zahlen selbst als 
Zahl zu betrachten, beruht darauf, daß, wie wir zeigen werden, es 
möglich ist, auch für diese Zahlen die Gleichheit und die Rechen 
operationen so zu definieren, daß die für reelle Zahlen bewiesenen 
Rechnungsgesetze gültig bleiben und die Operationen für a 2 = 0 in 
die für die reellen Zahlen übergehen. 
Da nach unserer Voraussetzung für kein reelles Zahlenpaar a x , u 2 
außer für 
a x = a 2 = 0 
a x e x mit u 2 e 2 gleichwertig ist, können wir zwei komplexe Zahlen 
a = (cc x e x , a 2 e 2 ) und h = (ß x e x , ß 2 e 2 ) 
1) Wenn bei gewissen Untersuchungen a, und c: 2 auf ganzzahlige Werte 
beschränkt werden, braucht man natürlich die Existenz der Bruchteile von e 1 
und e 2 nicht vorauszusetzen. 
2) Der Name „reelle Zahl“ trifft also nicht das Wesen der Sache. Wir 
müßten eigentlich sagen „mittels einer Einheit gebildete Zahlen“, behalten aber 
den aus historischen Gründen (siehe § 1) sich erklärenden Namen „reelle Zahl“ 
bei, weil er nun einmal vollständig eingebürgert ist. Des Wortes „imaginäre 
Zahlen“ werden wir uns im folgenden bedienen, um die komplexen Zahlen mit 
Ausschluß der reellen zu bezeichnen. Unter einer „rein imaginären“ Zahl ver 
steht man eine Zahl von der Form a t e i . 
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