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VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
nur dann einander gleich nennen, wenn sowohl = ß t als auch 
a 2 = ß 2 . Unmittelbar sieht man, daß sich aus dieser Erklärung der 
Satz ergibt, daß, wenn a = b und b == c, auch a — c sein muß. 
Unter der Summe der irgend welchen Mengen entsprechenden 
Zahlen haben wir stets die Zahl verstanden, welche der durch Ver 
einigung der Mengen entstehenden neuen Menge zukommt. Dem 
entsprechend definieren wir auch jetzt: 
(I) («1^1, «2^2) + {ßl^lj ßlß'l) — ((«1 + ßl)€l, («2 + ß%) £3) • 
Daß, wenn a, a', b, c irgend welche komplexen Zahlen be 
deuten, aus 
a = a 
auch 
folgt, und daß 
sowie 
a + b — a -j- b 
a -f- b = 6 4- a 
(a + 6) + c — a + (b + c), 
ist auf Grund unserer Summendefinition sehr leicht zu zeigen. 
Ebenso soll sein 
(«i«i, «2^2) — {ßiei, ßzez) = ((«1 — ßi) ei, («2 — ßa)es). 
Unter dem Produkte fi • (a 1 e 1 , a 2 e 2 ) wie auch unter dem Produkte 
(«jCj, cc 2 e 2 ) • [i, wo {i irgend eine reelle Zahl bedeutet, wollen wir die 
komplexe Zahl ((fiaße 1 , (pcc 2 )e 2 ) verstehen. Es ist dann, wie leicht 
ersichtlich, 
(fiv)a = p(va), 
(¡i -f- v)a = [ia -f va, 
-f- b) = 11a 4- p,b, 
wenn p,, v irgend welche reellen, a, b irgend welche komplexen Zahlen 
bedeuten. 
Wir können unsere komplexen Zahlen auch noch in etwas anderer 
Form schreiben als bisher. Nach (I) ist nämlich 
(Vi G, ^2^2) = ^0 4“ (0, <^2^2) = ~b ^2^2 ’ 
Den Gegenstand unserer Betrachtungen bilden also die sämtlichen 
linearen Verbindungen der beiden Einheiten e x und e 2 mit beliebigen 
reellen Zahlen a lf a 2 als Koeffizienten. Es drängt sich zunächst die 
Frage auf, ob, wenn a — a 1 e 1 -f- cc 2 e 2 und b = ß 1 e 1 -(- ß 2 e 2 irgend welche 
Zahlen unseres Bereiches sind, nicht eine beliebige dritte Zahl