§ 2 A. Addition und Subtraktion. Übergang zu anderen Einheiten. 341 
c = y 1 e 1 + y 2 e 2 auch als lineare Verbindung von a, h mit reellen 
Koeffizienten darstellbar ist, d. b., ob es möglich ist, die reellen Zahlen 
rj so zu bestimmen, daß 
7i^i + T2 e 2 = £ (^1^1 ~F ^2^2) d - V (ßi^i d - /^2^2) • 
Nach der Definition für die Gleichheit zweier komplexen Zahlen ist 
dafür hinreichend und notwendig, daß 
£<*i+Vßi = 7i und l« 2 d- nß*= 7s- 
Unter der Voraussetzung, daß cc 1 ß 2 — a %ßi ^ 0, werden diese beiden 
Gleichungen durch die Werte 
fc 7i ß» — Yi ßi = —«2 71 
Oij ^2 ßl , a \ §2 ßl 
befriedigt. Die Bestimmung von £, r\ ist bei beliebigen Werten von 
y 1} y 2 dagegen unmöglich, wenn a 1 ß 2 —u 2 ß x = 0. In diesem Falle 
aber lassen sich zwei Zahlen X, ft so angeben, daß 
Xa ¡ih = 0 1 ). 
Alle Zahlen unseres Bereiches können wir also wirklich durch 
zwei beliebige unter ihnen linear mit reellen Koeffizienten ausdrücken, 
außer durch zwei solche, zwischen denen eine lineare Relation mit 
reellen Koeffizienten besteht. Wenn es sieh als zweckmäßig heraus 
steilen sollte, dürfen wir demnach als Einheiten statt e 1 und e 2 auch 
zwei andere linear voneinander unabhängige Zahlen unseres Bereiches 
wählen 2 ). 
B. Multiplikation. 
Während sich die Definitionen für die Summe und die Differenz 
zweier komplexen Zahlen aus der Bedeutung der entsprechenden an 
Mengen auszuführeuden Operationen naturgemäß und ungezwungen 
ergaben, liegt eine Notwendigkeit für eine bestimmte Definition des 
Produktes zweier komplexen Zahlen von vornherein durchaus nicht 
vor. Denselben Sinn wie für natürliche Zahlen hat ja die Multipli 
kation schon nicht mehr hei den gebrochenen, den relativen, den 
1) Für X, g kann man irgend ein den beiden Gleichungen 
-f ft|3 L = 0, *a 2 + fi&.=0 
genügendes Wertsystem wählen. 
2) Die unter A angestellten Betrachtungen lassen sich ohne weiteres auf 
Zahlgrößen ausdehnen, die aus beliebig vielen Einheiten zusammengesetzt sind.