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VII. Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
so erkennt man, daß die erste aus ihnen folgt, außer wenn gleich 
zeitig = v 2 und X x = ¿t 2 , in welchem Falle auch die erste Be 
dingungsgleichung in (Y) heibehalten werden muß. Während also das 
kommutative und das distributive Gesetz bei beliebigen Werten der 
Koeffizienten X, p,, v erfüllt sind, erfordert die Gültigkeit des asso 
ziativen Gesetzes das Bestehen der Gleichungen (Y) bezüglich (Y a). 
Diesen genügende Wertsysteme der X, ¡i, v kann man leicht in 
folgender Weise angeben: 
Wir setzen 
k x № 2 — ks, 
#*i — v, =■ ks, 
(VI) 
d. h., wir bestimmen unsere Multiplikationskoeffizienten so, daß 
(Via) 
dann sind hei beliebigen Werten von Je, Je, Je", s, s die Gleichungen 
(Y) erfüllt. Wenn umgekehrt die sechs Zahlen X t , X 2 , fi x , fi 2 , v x , v 2 
gegebene, mit den Gleichungen (V) in Einklang stehende Werte haben 
(wenn wir also bei einem bestimmten Multiplikationsverfahren bleiben), 
so sind die fünf Zahlen k, k', k", s, e noch nicht völlig bestimmt; 
wir können vielmehr einer von ihnen, z. B. s, noch einen beliebigen, 
von Null verschiedenen Wert beilegen. Es ergibt sich nämlich dann 
aus der ersten Gleichung unter (Yl): 
k — 
£ 
aus der zweiten: 
s 
k 
v. 
Qi — v i) £ 
Pi 
(Ylb) aus der dritten 
£ 
aus der fünften: