§ 2 C. Division. § 2 D. Nachweis, daß der Quotient a: a von a unabhängig ist. 349 
D. Aufsuchung zweier Einheiten mit möglichst einfachen 
M ultiplikati ouskoe fflzienten. 
Die bisherigen Entwicklungen in § 2 haben uns zu folgendem 
Ergebnis geführt: Für die aus zwei Einheiten e x , e 2 gebildeten kom 
plexen Zahlen lassen sich Addition, Subtraktion und Multiplikation 
so definieren, daß das Resultat der Rechnung stets ein bestimmtes 
ist, und daß auch, wenn nur die Multiplikationskoeffizienten A, fi, v 
den Gleichungen (V) genügen, die sämtlichen für reelle Zahlen er 
haltenen Rechnungsgesetze gültig bleiben. Auch die Division ist im 
allgemeinen ausführbar, wenn die Ungleichung (VIII) befriedigt ist, 
und sogar für jeden Divisor (außer Null) möglich, wenn Je, Je, Je" 
noch der Ungleichung (IX) genügen. Es sind demnach alle die 
Systeme von komplexen Zahlen aus zwei Einheiten zulässig, deren 
Multiplikationskoeffizienten die angegebenen Bedingungen erfüllen. 
Wir denken uns jetzt ein beliebiges System herausgegriifen, 
d. h., wir wählen für l x , A 2 , [i x , ¡a 2 , v x , v 2 irgend ein mit den Be 
dingungen verträgliches Wertsystem. Schon unter B, S. 343, haben 
wir darauf hingewiesen, daß die Multiplikationskoeffizienten sich 
ändern, wenn wir e x und e 2 durch zwei andere, linear voneinander 
unabhängige Zahlen desselben Systems ersetzen. Wir suchen nun, 
zwei solche zu finden, für welche die Multiplikationskoeffizienten be 
sonders einfache Werte annehmen. 
Um zu zeigen, daß es in jedem unserer Systeme komplexer Zahlen 
(d. h. bei jedem zulässigen Wertsystem der A, ¿t, v) eine Zahl gibt, 
welche die Eigenschaft besitzt, bei der Multiplikation jede Zahl un 
verändert zu lassen, berechnen wir den Quotienten a : a, indem wir 
in der unter C gelösten Divisionsaufgabe c = a, also y x = cc x , y 2 = a 2 
setzen. Dann erhalten wir: 
«iV» — «i«iO*x — v i)~ „ , — «1**1 + 
a . a — y — e x i ^ e 2 , 
oder unter Berücksichtigung der Gleichungen (VI) und des S. 347 für 
d gefundenen Wertes (VII): 
£(«, 2 /c' — a, Je — cc 2 3 k”) 
co (a, 2 k' — or, k — cc 2 2 k") 
Ersetzen wir in co die Zahlen Je, Je, Je", s, e mittels der Gleichungen 
(VI b), S. 346, durch l x , A 2 , (i x , /r 2 , v lt v 2 , so wird 
K V i J Pl Pi ~ K V i 
(O = £ —z —-—— = £ 
K Pi 
a : a = 
— — e. 
s'(o;, 2 le—cq K 2 k — <x 2 3 k") 
a{a l s k' — a,K 2 k—u 2 3 k") 1 
s 
e, — 
Pi~ v i