§ 2E. 1. Systeme komplexer Zahlen, für welche Je 9 -|- ik'k'"^> 0. 
Im allgemeinen ist, weil co von Null verschieden, auch die Division 
ausführbar. Es gibt aber Zahlen, durch welche man nicht dividieren 
darf. Suchen wir nämlich die Zahl b so zu bestimmen, daß 
ab — c — ye -f y x i x , 
so müssen die Koeffizienten ß und ß x den Gleichungen genügen: 
aß + a x ß x = y, 
<hß+ «ßi = ?x- 
Sie lassen sich bei beliebigen Werten von y, y x nicht bestimmen, 
wenn 
also 
a 2 — a x = 0, 
a x = + a. 
Es ist deshalb die Division durch die unendlich vielen Zahlen a{e + iß) 
unmöglich. Daraus folgt noch eine weitere Abweichung von der 
Arithmetik der reellen Zahlen. Das Produkt 
(e + i x ) (e - i x ) = ee 
= e 
hat den Wert Null, ohne daß einer der beiden Faktoren verschwindet. 
Es fragt sich ferner, ob denn in diesem System die Aufgabe, aus 
einer beliebigen Zahl die Quadratwurzel zu ziehen, um derentwillen 
wir zu Systemen aus zwei Einheiten übergingen, lösbar ist. Soll 
(|c + Ixhf = ae + a x i x 
sein, so müssen |, den Gleichungen genügen: 
l 2 + \ 2 = «, 
2 £ == a x , 
aus denen sich sofort ergibt: 
I + Ix =V (X + tt x> 
I — li == ]/« — «! • 
Wir erhalten für |, ^ nur dann reelle Werte, wenn sowohl 
a + ot x > 0 als auch a — a x > 0, 
d. h,, falls gleichzeitig 
a > 0 und a > 1 a x |. 
Aus Zahlen ae-\-a x i lf welche diesen Bedingungen nicht genügen, 
läßt sich nicht die Quadratwurzel ziehen, z. B. nicht aus — e. 
Färber: Arithmetik.