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VIL Kapitel. Die komplexen Zahlen. 
dritten Gruppe (Ungleichung (XIY), S. 355) zwei Größen e, i, deren 
Multiplikation die Gleichungen (XIV a) bestimmen. Jede der drei 
Gruppen reduziert sich also tatsächlich auf ein einziges System, 
nämlich das der sämtlichen linearen Verbindungen des betreffenden 
Einheiten-Paares mit reellen Koeffizienten. Nur das dritte System 
besitzt die Eigenschaft, daß die Division durch jede von Null ver 
schiedene Zahl möglich ist und infolgedessen auch ein Produkt immer 
nur dann verschwinden kann, wenn wenigstens einer der Faktoren 
Null ist, und daß außerdem die Quadratwurzelausziehung aus einer 
beliebigen Zahl des Systems wieder auf eine Zahl des Systems führt. 
Dieses dritte System, welches man als das der gewöhnlichen oder 
gemeinen komplexen Zahlen bezeichnet, ist also, zunächst jeden 
falls unter allen Systemen aus zwei Einheiten, das einzige, für 
welches genau dieselben Rechnungsgesetze gelten wie für 
die reellen Zahlen, vor denen es aber den Vorzug hat, daß in ihm 
die erwähnte, für reelle Zahlen unlösbare Aufgabe lösbar wird. 
Zusatz: 
Wenn auch nicht durch das Bedürfnis, bisher unlösbare Aufgaben lösbar 
za machen, veranlaßt, so hat man doch aus rein theoretischem Interesse auch 
Zahlensysteme studiert, die aus mehr als zwei Einheiten zusammengesetzt sind. 
Wie schon S. 341, Anm. ‘2 gesagt, lassen sich für solche Addition, Subtraktion 
und Multiplikation mit einer reellen Zahl stets ohne Schwierigkeit in derselben 
Weise wie für Systeme aus zwei Einheiten behandeln. Es liegt dann nahe, für 
die Multiplikation zweier komplexen Zahlen eine derartige Definition zu fordern, 
daß das Produkt demselben Zahlbereiche angehört wie die Faktoren, und daß 
alle Multiplikationsgesetze erhalten bleiben. Auch dieses Ziel ist stets, und 
zwar noch auf unendlich viele Arten, zu erreichen. Aber es stellt sich dabei 
heraus, daß, wie man auch die Multiplikationskoeffizienten wählen möge, auf 
jeden Fall unendlich viele Zahlen existieren, durch welche man nicht dividieren 
kann, und daß es infolgedessen immer Produkte gibt, die den Wert Null an 
nehmen, ohne daß einer der Faktoren verschwindet, was natürlich eine von der 
gewöhnlichen erheblich abweichende Algebra zur Folge hat 1 )- 
1) Schon Gauß schließt die bereits S. 386 zitierte Selbstanzeige seiner 
zweiten Abhandlung über die biquadratischen Reste mit den Worten (Gauß 1 
Werke, Bd. II, S. 178): „Der Verfasser hat sich Vorbehalten, den Gegenstand, 
welcher in der vorliegenden Abhandlung eigentlich nur gelegentlich berührt ist, 
künftig vollständiger zu bearbeiten, wo dann auch die Frage, warum die Re 
lationen zwischen Dingen, die eine Mannigfaltigkeit von mehr als zwei Dimen 
sionen darbieten, nicht noch andere in der allgemeinen Arithmetik zulässige 
Arten von Größen liefern können, ihre Beantwortung finden wird.“ Gauß selber 
hat nun aber über diese Frage nichts weiter publiziert. Sie ist erst, und zwar 
in dem oben angegebenen Sinne, beantwortet worden von H. Hankel in seiner 
„Theorie der komplexen Zahlensysteme“ (Leipzig 1867), S. 108 und etwa seit dem 
Anfänge der sechziger Jahre des vorigen Jahrhunderts von Weierstraß in 
seinen Vorlesungen an der Universität Berlin.