§ 5. Multiplikation. 
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B. Kommutatives und assoziatives Gesetz. 
Nach der Definition des Produktes ist 
(b Summanden) 
(b Teilsummen) 
(a Summanden) (a Summanden) (o Summanden) 
= (1 -fl + 1-1 fl)+ (1 + 1 + 14 f 1)4 f (1 + 1 + 1 4 fl)* 
Da der Wert einer Summe von der Anordnung der Summanden 
unabhängig ist, kann man die Summe auch in der Art bilden, daß 
man aus jeder Teilsumme zunächst eine Eins herausgreift und diese 
Einsen zusammenzählt, sodann aus jeder Teilsumme eine zweite Eins 
nimmt und diese Einsen addiert und so fortfährt, bis die sämtlichen 
Einsen berücksichtigt sind. Man erhält auf diese Weise: 
(a Teilsummen) 
(ö Summanden) (b Summanden) (6 Summanden) (b Summanden) 
a-h =(1+14 f l)-f (1+14 f 1)+(1+14 f 1)4 f(l+l4 1~1), 
(a Summanden) 
a-h =&+&+& -j \-h, 
a-b=b>a. 
Die hiermit bewiesene Formel heißt das kommutative Gesetz für 
die Multiplikation. 
Es besagt, daß Multiplikand und Multiplikator mitein 
ander vertauscht werden dürfen; man hat deshalb für beide 
einen gemeinsamen Namen, nämlich Faktor, eingeführt. Häufig nennt 
man auch einen der beiden Faktoren, gewöhnlich denjenigen, welchem 
in der betreffenden Rechnung das geringere Interesse zugewendet ist, 
den Koeffizienten des andern, namentlich die bestimmte Zahl in einem 
Produkte aus einer bestimmten und einer unbestimmten Zahl. So 
heißt 5 der Koeffizient von a in dem Produkte 5 a. 
(a Summanden) 
Das Produkt 1 • a ist nach der Definition gleich 1 + 1 + 1+ -- - + 1, 
hat also den Wert a. Das Zeichen a • 1 hat zunächst gar keine 
Bedeutung, weil der Begriff der Summe wenigsteijs zwei Summanden 
voraussetzt. Wollen wir a-1 auch als ein Produkt betrachten, so 
dürfen wir, damit auch für dieses Produkt das kommutative Gesetz 
gelte, darunter nichts anderes verstehen als a. Wir setzen also fest, 
daß durch Multiplikation mit 1 sich der Wert einer Zahl nicht 
ändern soll. 
Färber: Arithmetik. 
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