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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
E. Zusatz. Arithmetische Reihen. 
Bisweilen hat man es mit Mengen gleichartiger Objekte zu tun, 
denen nicht sämtlich dieselbe Anzahl zukommt, deren Anzahlen aber 
in gewisser einfacher Beziehung zueinander stehen; wir wollen hier 
von Mengen sprechen, die sich in eine solche Reihenfolge bringen 
lassen, daß die Anzahl jeder folgenden um den gleichen Betrag, etwa 
d, größer ist als die der unmittelbar vorhergehenden, so daß, wenn 
wir die den einzelnen Mengen in dieser Reihenfolge zukommenden 
Anzahlen mit a lf a 2 , . . . a n bezeichnen, 
a 2 = «i + d, 
ctg === -{- d -f- d = ct^ -j - 2 d, 
a n = a i + ( n — l)d 
ist. Eine Folge derartiger Zahlen bezeichnet man als „arithme 
tische Reihe“, die einzelnen Zahlen als „Glieder“ dieser Reihe. 
Unter Anwendung des Hauptgesetzes der Addition, daß der Wert 
einer Summe unabhängig ist von der Reihenfolge der Summanden 
(Kap. I, § SB), gelingt es sofort, die der Gesamtheit der einzelnen 
Mengen zukommende Anzahl, also die Summe der Glieder der arith 
metischen Reihe, durch ein Produkt (d. h. durch eine Summe aus 
lauter gleichen Summanden) darzustellen. Ist nämlich 
s = a i + a 2 + • • • -f a v + • • • + °n-i + a n> 
so ist auch 
s = a n + a n-1 + • ' • + ß„+i-r 4- • * • + + «i, 
folglich 
^ S = ( a i + a n) + («2 + a n -1) H 1" ( a v+ a n+1-v) 4 H ( a n-1 + 0- 2 ) + («„4" «j) • 
Da allgemein 
a v = a + (v — 1) d 
und (v = 1, 2, . . . n) 
« ra+1 _ r =» + (n - v)d, 
so ist a v + a n + 1 _ v = 2a (n—1) • d, also unabhängig von v. 2s ist 
demnach durch eine Summe dargestellt, deren sämtliche Summanden 
denselben Wert 2a + (n — 1) d haben, während die Anzahl der Sum 
manden n beträgt; wir können also schreiben