24 I- Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
inzwischen abgeleiteten arithmetischen Gesetzen beruhendes Divisions- 
verfahren kennen lernen. 
B. Formeln für die Division. 
Nach der Definition des Quotienten ist a : b diejenige Zahl (und 
zwar, falls es überhaupt eine solche gibt, die einzige), für welche 
(a :b) • b = a x ) oder b ■ (a :b) = a. 
Eine Division ist also dann und nur dann richtig ausgeführt, wenn 
das Produkt aus Quotient und Divisor gleich dem Dividenden ist. 
Mittels dieses Kriteriums lassen sich leicht die folgenden Gleichungen 
beweisen: 
(I) (ab) : c = a • (b : c) ; 
denn [a ■ (b : cj] • c = a ■ [(b : c) ■ c] = ab. 
(II) a : (bc) = (a : b) : c; 
denn [(a : b) : c] • (bc) = { [(a : b) : c] • c} • b 
= (a :b) • b = a. 
(III) a : (b : c) = (a :b) • c; 
denn [(a : b) ■ c] ■ (b : c) = [(a : b) ■ c ■ b] : c (nach (I)) 
— [(a : b) • b • c]: c 
= [a ■ c] : c = a. 
(IV) (a • c) : (b • c) = a : b; 
denn (a :b) • (bc) — [(a :b) • b] • c = a • c. 
(V) (a : c) : (b : c) — a : & 5 
denn (a :&)•(&: c) = [(a :&)•&]: c (nach (I)) 
= a: c. 
(VI) (a : c) • (b : d) = (a • b): (c ■ d)] 
denn (a : c) ■ (b : d) • (c • d) = ab. 
Die Formeln (I) bis (VI) sind vollkommen analog den Formeln (I) 
bis (VI) des § 4B, ebenso ihre Beweise den dort gegebenen. 1 2 ) 
1) Eine Zahl a bleibt also ungeändert, wenn man sie erst durch irgend 
eine Zahl b dividiert und nachher mit derselben Zahl b multipliziert. Division 
und Multiplikation heben sich also gegenseitig auf; man nennt deshalb die 
Division die zur Multiplikation inverse Operation. 
2) Man kann tatsächlich die Gesetze der Addition und Multiplikation einer 
seits, die der Subtraktion und Division andrerseits rein formal (d. h. ohne auf 
die Bedeutung der Begriffe Summe, Produkt, Differenz, Quotient einzugehen) gleich 
zeitig entwickeln. In allgemeiner Weise hat dies zuerst Hankel in seiner