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§ 6. Division. § 7. Potenzieren. 
Aus der Definition des Quotienten und den Formeln (II) und 
(IY) des § 50 ergeben sich sofort noch zwei diesen Formeln ent 
sprechende Gleichungen: 
(VII) {a x + a 2 -j h <0 : c = K: c) + (% : c) H h (a n : c) 
und 
(VIII) (a — b) : c—.(a: c) — (b : c). 
Die sämtlichen Formeln dieses Paragraphen haben im Gebiete 
der natürlichen Zahlen nur dann einen Sinn, wenn bei jeder vor 
kommenden Division der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. 
§ 7. Potenzieren. 
A. Begriff der Potenz. 
Wie man für eine Summe aus lauter gleichen Summanden eine 
abgekürzte Bezeichnung eingeführt hat (§ 5), so schreibt man auch 
(& Faktoren) 
ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren, a ■ a • • • a, abgekürzt a b 
und nennt es eine Potenz * 1 ), den wiederholt gesetzten Faktor a die 
„Theorie der komplexen Zahlensysteme“, Leipzig 1867 (vgl. auch 0. Stolz, Vor 
lesungen über allgemeine Arithmetik, I. Teil, 3. Abschn.) durchgeführt. Er be 
zeichnet, wenn ein System von Größen irgend welcher Art vorliegt, eine Ver 
knüpfung unter diesen Größen als eine tbetische, wenn sie zu irgend zwei Größen 
des Systems stets eine, aber auch nur eine dritte liefert, und als zugehörige 
lytische eine solche Verknüpfung, die aus dem Resultat der Thesis und dem 
einen Bestandteil den andern ergibt. Die Formeln der §§ 3 und 5 sind richtig 
für jede thetische Verknüpfung, für welche das assoziative Gesetz bei drei und 
das kommutative bei zwei beliebigen Größen gelten, und die Formeln der §§ 4 
und 6 für jede zugehörige lytische Verknüpfung, vorausgesetzt nur, daß sie ein 
deutig ist, d. h. daß nicht zwei oder mehr verschiedene Größen das Ergebnis 
derselben Lysis sein können. Für die Beweise der Formeln in den §§ 3—6 haben 
wir nämlich keine andern als die hier angegebenen Voraussetzungen gebraucht. 
1) Das dem lateinischen potentia entsprechende griechische Wort dvvaiug 
(als Kunstausdruck zuerst nachweisbar bei Hippokrates von Chios in der 
zweiten Hälfte des fünften Jahrhunderts v. Ohr.) bedeutet zunächst nur die zweite 
Potenz; die dritte Potenz heißt xvßog. Diophantos (der möglicherweise schon 
im zweiten Jahrhundert v.Chr., wahrscheinlich aber erst im dritten oderim Anfang 
des vierten Jahrhunderts n. Chr. gelebt hat) bildete durch Zusammensetzung aus 
diesen beiden Wörtern Namen für die vierte, fünfte und sechste Potenz. Vgl. 
Cantor, Vorlesungen I, S. 196 u. 439. Das Wort Exponent findet sich zuerst in 
Michael Stiefels Arithmetica Integra, 1544. (Cantor, Vorlesungen II, S. 432.) 
Die jetzt übliche Bezeichnung der Potenz stammt von Descartes, bei welchem 
aber der Exponent stets eine bestimmte Zahl ist. Potenzen mit unbestimmt ge 
lassenen Exponenten hat erst Newton eiugeführt.