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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
zeichnen. Wählt man für p und n beliebige natürliche Zahlen, so 
gibt es im allgemeinen keine Zahl a, die der Gleichung a n = p ge 
nügt, keinesfalls aber gibt es mehr als eine solche Zahl, was unmittel 
bar aus § 7 C, I folgt, in andern Worten, die Aufgabe, aus einer 
Zahl p die n te Wurzel zu ziehen, hat (im Gebiete der natürlichen 
Zahlen) entweder keine oder doch nur eine Lösung. Ebenso existiert 
bei beliebig gegebenen Werten p, a entweder gar keine oder doch 
nur eine Zahl, welche = (a )logj? ist (§ 7 C, II). Eine Ausnahme tritt 
nur in dem (§ 7 C, II ausgeschlossenen) Falle a — 1 ein. Wenn a= 1, 
p > 1, so gibt es keine Zahl n, für welche a n = p; wenn aber a= 1, 
p= 1, so kann für n jede beliebige Zahl gesetzt werden. Wir werden 
deshalb den Wert a = 1 als Basis eines Logarithmus immer aus 
schließen. 
B. Formeln für das Radizieren. 
Formeln, die den Gleichungen I—YI in § 4 B und § 6 B ent 
sprechen, gibt es für die zum Potenzieren inversen Operationen des 
Radizierens und Logarithmierens nicht. Die Beweise dieser Glei 
chungen erforderten nämlich die Anwendung des Assoziations- und 
des Kommutationsgesetzes für die Addition bezüglich die Multiplikation, 
und diese Gesetze gelten ja für das Potenzieren nicht. 
Aus den Gleichungen III—Y des § 7 B und der Definition von 
y'p als der einzigen Zahl (falls überhaupt eine existiert), für welche 
(p / ji)' i = p } ergeben sich dagegen sofort die folgenden Formeln: 
(I) 
denn 
Die linke Seite hat also die Eigenschaft, in die n te Potenz er 
hoben, den Wert pq zu liefern. Da es nur eine derartige Zahl geben 
kann und diese durch Ypq bezeichnet wird, ist I bewiesen. 
Beweis wie bei I. 
Durch wiederholte Anwendung von I findet man 
71/ 71/ 71/ 71/ 
VPl ' V P% • • • VPrn = VPl • P‘i • • •Pm 
und für p x = j? 2 = • • • =p m = p 
(III) 
(IY)