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I. Kapitel. Die natürlichen Zahlen. 
§ 9. Zusammenfassender Überblick über die Rechenoperationen. 
Von der Summe zweier Zahlen gelangt man zum Produkte und 
vom Produkte zweier Zahlen zur Potenz, indem man für einen der 
beiden Summanden (bezüglich Faktoren) wieder eine Summe (be 
züglich Produkt) substituiert, für einen der beiden Summanden (be 
züglich Faktoren) dieser Summe (bezüglich dieses Produktes) abermals 
eine Summe (bezüglich Produkt) wählt, in dieser Weise beliebig weit 
fortfährt und dann die sämtlichen verwendeten Zahlen einander gleich- 
setzt. Ob man beständig den ersten Summanden (bezüglich Faktor) 
oder beständig den zweiten Summanden (bezüglich Faktor) durch 
eine Summe (bezüglich Produkt) ersetzt, kommt auf dasselbe hinaus, 
weil für das Addieren und das Multiplizieren das kommutative Gesetz 
gilt. Es erhebt sich jetzt die Frage, kann man auch vom Potenzieren 
in ähnlicher Weise zu neuen Rechenoperationen fortschreiten? Ver 
wendet man für die Rechnung von vornherein nur eine Zahl a und 
ersetzt man immer wieder die Basis durch eine Potenz, so gelangt 
man sukzessive zu den Zahlen a a , (a a ) a , [(«“)“] usw.; ersetzt man aber 
immer wieder den Exponenten durch eine Potenz, so wird man auf 
die Zahlen geführt: a a , a^ aa \ ^ usw. Alle diese Größen sind offenbar 
vollkommen bestimmt, wenn man den Wert von a und die Zahl n 
kennt, welche angibt, wie oft a hingeschrieben ist. Wir wollen des 
halb, zur Abkürzung für den Augenblick, die Potenzformen der ersten 
Art durch (a, 2), (a, 3), (a, 4) . . . (a, n), die der zweiten durch [a, 2], 
[a, 3], [a, 4], . . . [a, n\ bezeichnen. Aus § 7 B, V ergibt sich un 
mittelbar, daß 
(» — 1) Faktoren 
/ \ aa-• -a (~w—i) 
(a, n) = a = a , 
also auf eine gewöhnliche Potenz zurückführbar ist. Das Symbol 
[a, w] definiert dagegen eine neue Rechenoperation, die man als 
Operation vierter Stufe bezeichnet hat. In der mathematischen Lite 
ratur finden sich verhältnismäßig nur wenige Arbeiten, die dem 
Studium derselben und der zu ihr inversen Operationen gewidmet 
sind. 1 ) Weil die Entwicklungen recht kompliziert sind, und ein 
wirkliches Bedürfnis zur Verwendung dieser Operation sich bisher 
nicht herausgestellt hat, wollen auch wir nicht näher darauf eingehen 
und noch weniger auf die Rechenoperationen fünfter, sechster usw. 
Stufe, zu denen man bei weiterem Fortschreiten in analoger Weise 
gelangen könnte. Wir werden vielmehr bei den in den §§ 3—8 be- 
1) Eisenstein, Journ. f.Math., Bd. 28, S. 49; Woepcke, Journ. f. Math., 
Bd. 42, S. 83; Gerlach, Zeitschrift f. math. u. naturwissensch. Unterricht, 13. 
Jahrg., S. 423; Schulze, Archiv f. Math. u. Phys. (2), III, S. 302.